Theorem inflbti 6919

Description: An infimum is a lower bound. See also infclti 6918 and infglbti 6920. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infclti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infclti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
inflbti	|- ( ph -> ( C e. B -> -. C Rinf ( B , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem inflbti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infclti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	cnvti 6914	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
3		infclti.ex	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
4	3	cnvinfex 6913	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
5	2, 4	supubti 6894	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
6	5	imp 123	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> -. sup ( B , A , `' R ) `' R C )
7		df-inf 6880	. . . . . 6 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R ) )
9	8	breq2d 3949	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> ( C Rinf ( B , A , R ) <-> C R sup ( B , A , `' R ) ) )
10	2, 4	supclti 6893	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) e. A )
11		brcnvg 4728	. . . . . 6 |- ( ( sup ( B , A , `' R ) e. A /\ C e. B ) -> ( sup ( B , A , `' R ) `' R C <-> C R sup ( B , A , `' R ) ) )
12	11	bicomd 140	. . . . 5 |- ( ( sup ( B , A , `' R ) e. A /\ C e. B ) -> ( C R sup ( B , A , `' R ) <-> sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
13	10, 12	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> ( C R sup ( B , A , `' R ) <-> sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
14	9, 13	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> ( C Rinf ( B , A , R ) <-> sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
15	6, 14	mtbird 663	. 2 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> -. C Rinf ( B , A , R ) )
16	15	ex 114	1 |- ( ph -> ( C e. B -> -. C Rinf ( B , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   supcsup 6877  infcinf 6878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-riota 5738  df-sup 6879  df-inf 6880

This theorem is referenced by:  zssinfcl  11677  infssuzledc  11679