Theorem inflbti 6911

Description: An infimum is a lower bound. See also infclti 6910 and infglbti 6912. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infclti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infclti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
inflbti	|- ( ph -> ( C e. B -> -. C Rinf ( B , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem inflbti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infclti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	cnvti 6906	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
3		infclti.ex	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
4	3	cnvinfex 6905	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
5	2, 4	supubti 6886	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
6	5	imp 123	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> -. sup ( B , A , `' R ) `' R C )
7		df-inf 6872	. . . . . 6 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R ) )
9	8	breq2d 3941	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> ( C Rinf ( B , A , R ) <-> C R sup ( B , A , `' R ) ) )
10	2, 4	supclti 6885	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) e. A )
11		brcnvg 4720	. . . . . 6 |- ( ( sup ( B , A , `' R ) e. A /\ C e. B ) -> ( sup ( B , A , `' R ) `' R C <-> C R sup ( B , A , `' R ) ) )
12	11	bicomd 140	. . . . 5 |- ( ( sup ( B , A , `' R ) e. A /\ C e. B ) -> ( C R sup ( B , A , `' R ) <-> sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
13	10, 12	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> ( C R sup ( B , A , `' R ) <-> sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
14	9, 13	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> ( C Rinf ( B , A , R ) <-> sup ( B , A , `' R ) `' R C ) )
15	6, 14	mtbird 662	. 2 |- ( ( ph /\ C e. B ) -> -. C Rinf ( B , A , R ) )
16	15	ex 114	1 |- ( ph -> ( C e. B -> -. C Rinf ( B , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   supcsup 6869  infcinf 6870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-riota 5730  df-sup 6871  df-inf 6872

This theorem is referenced by:  zssinfcl  11641  infssuzledc  11643