ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvinfex GIF version

Theorem cnvinfex 6634
Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvinfex.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnvinfex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cnvinfex
StepHypRef Expression
1 cnvinfex.ex . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2 vex 2617 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 2617 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 4580 . . . . . . 7 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
54a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
65notbid 625 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
76ralbidv 2376 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
83, 2brcnv 4580 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
98a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦))
10 vex 2617 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
113, 10brcnv 4580 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1211a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1312rexbidv 2377 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
149, 13imbi12d 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
1514ralbidv 2376 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
167, 15anbi12d 457 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
1716rexbidv 2377 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
181, 17mpbird 165 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wral 2355  wrex 2356   class class class wbr 3814  ccnv 4403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-opab 3869  df-cnv 4412
This theorem is referenced by:  infvalti  6638  infclti  6639  inflbti  6640  infglbti  6641  infisoti  6648  infrenegsupex  8991
  Copyright terms: Public domain W3C validator