ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvinfex GIF version

Theorem cnvinfex 7014
Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvinfex.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnvinfex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cnvinfex
StepHypRef Expression
1 cnvinfex.ex . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 4809 . . . . . . 7 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
54a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
65notbid 667 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
76ralbidv 2477 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
83, 2brcnv 4809 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
98a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦))
10 vex 2740 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
113, 10brcnv 4809 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1211a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1312rexbidv 2478 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
149, 13imbi12d 234 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
1514ralbidv 2477 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
167, 15anbi12d 473 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
1716rexbidv 2478 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
181, 17mpbird 167 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4002  ccnv 4624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4003  df-opab 4064  df-cnv 4633
This theorem is referenced by:  infvalti  7018  infclti  7019  inflbti  7020  infglbti  7021  infisoti  7028  infrenegsupex  9590  infxrnegsupex  11264
  Copyright terms: Public domain W3C validator