ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvinfex GIF version

Theorem cnvinfex 6793
Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnvinfex.ex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnvinfex (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cnvinfex
StepHypRef Expression
1 cnvinfex.ex . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2 vex 2636 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 2636 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 4650 . . . . . . 7 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
54a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
65notbid 630 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
76ralbidv 2391 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
83, 2brcnv 4650 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
98a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦))
10 vex 2636 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
113, 10brcnv 4650 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1211a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1312rexbidv 2392 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
149, 13imbi12d 233 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
1514ralbidv 2391 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
167, 15anbi12d 458 . . 3 (𝜑 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
1716rexbidv 2392 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
181, 17mpbird 166 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wral 2370  wrex 2371   class class class wbr 3867  ccnv 4466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-cnv 4475
This theorem is referenced by:  infvalti  6797  infclti  6798  inflbti  6799  infglbti  6800  infisoti  6807  infrenegsupex  9181  infxrnegsupex  10822
  Copyright terms: Public domain W3C validator