Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infxrnegsupex Unicode version

Theorem infxrnegsupex 11044
 Description: The infimum of a set of extended reals is the negative of the supremum of the negatives of its elements. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrnegsupex.ex
infxrnegsupex.ss
Assertion
Ref Expression
infxrnegsupex inf
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem infxrnegsupex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9595 . . . . 5
21adantl 275 . . . 4
3 infxrnegsupex.ex . . . 4
42, 3infclti 6910 . . 3 inf
5 xnegneg 9628 . . 3 inf inf inf
64, 5syl 14 . 2 inf inf
7 xnegeq 9622 . . . . . . . . 9
87cbvmptv 4024 . . . . . . . 8
98mptpreima 5032 . . . . . . 7
10 eqid 2139 . . . . . . . . . 10
1110xrnegiso 11043 . . . . . . . . 9
1211simpri 112 . . . . . . . 8
1312imaeq1i 4878 . . . . . . 7
149, 13eqtr3i 2162 . . . . . 6
1514supeq1i 6875 . . . . 5
1611simpli 110 . . . . . . . . 9
17 isocnv 5712 . . . . . . . . 9
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8
19 isoeq1 5702 . . . . . . . . 9
2012, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8
2118, 20mpbi 144 . . . . . . 7
2221a1i 9 . . . . . 6
23 infxrnegsupex.ss . . . . . 6
243cnvinfex 6905 . . . . . 6
252cnvti 6906 . . . . . 6
2622, 23, 24, 25supisoti 6897 . . . . 5
2715, 26syl5eq 2184 . . . 4
28 df-inf 6872 . . . . . . 7 inf
2928eqcomi 2143 . . . . . 6 inf
3029fveq2i 5424 . . . . 5 inf
31 eqidd 2140 . . . . . 6
32 xnegeq 9622 . . . . . . 7 inf inf
3332adantl 275 . . . . . 6 inf inf
344xnegcld 9650 . . . . . 6 inf
3531, 33, 4, 34fvmptd 5502 . . . . 5 inf inf
3630, 35syl5eq 2184 . . . 4 inf
3727, 36eqtr2d 2173 . . 3 inf
38 xnegeq 9622 . . 3 inf inf
3937, 38syl 14 . 2 inf
406, 39eqtr3d 2174 1 inf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  crab 2420   wss 3071   class class class wbr 3929   cmpt 3989  ccnv 4538  cima 4542  cfv 5123   wiso 5124  csup 6869  infcinf 6870  cxr 7811   clt 7812   cxne 9568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-sub 7947  df-neg 7948  df-xneg 9571 This theorem is referenced by:  xrminmax  11046
 Copyright terms: Public domain W3C validator