Theorem infclti 7084

Description: An infimum belongs to its base class (closure law). See also inflbti 7085 and infglbti 7086. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infclti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infclti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infclti	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) e. A )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infclti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7046	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		infclti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7080	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infclti.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
5	4	cnvinfex 7079	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
6	3, 5	supclti 7059	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) e. A )
7	1, 6	eqeltrid 2280	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4030   `'ccnv 4659   supcsup 7043  infcinf 7044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-riota 5874  df-sup 7045  df-inf 7046

This theorem is referenced by:  infrenegsupex  9662  supminfex  9665  infregelbex  9666  infxrnegsupex  11409  infssuzledc  12090