Theorem infclti 7024

Description: An infimum belongs to its base class (closure law). See also inflbti 7025 and infglbti 7026. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infclti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infclti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infclti	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) e. A )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infclti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6986	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		infclti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 7020	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infclti.ex	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
5	4	cnvinfex 7019	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
6	3, 5	supclti 6999	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) e. A )
7	1, 6	eqeltrid 2264	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   `'ccnv 4627   supcsup 6983  infcinf 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-riota 5833  df-sup 6985  df-inf 6986

This theorem is referenced by:  infrenegsupex  9596  supminfex  9599  infregelbex  9600  infxrnegsupex  11273  infssuzledc  11953