ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infclti Unicode version

Theorem infclti 6655
Description: An infimum belongs to its base class (closure law). See also inflbti 6656 and infglbti 6657. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infclti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
infclti.ex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
Assertion
Ref Expression
infclti  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  e.  A
)
Distinct variable groups:    u, A, v, x, y, z    u, B, v, x, y, z   
u, R, v, x, y, z    ph, u, v, x, y, z

Proof of Theorem infclti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6617 . 2  |- inf ( B ,  A ,  R
)  =  sup ( B ,  A ,  `' R )
2 infclti.ti . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
32cnvti 6651 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u `' R v  /\  -.  v `' R u ) ) )
4 infclti.ex . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  ( x R y  ->  E. z  e.  B  z R y ) ) )
54cnvinfex 6650 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x `' R y  /\  A. y  e.  A  ( y `' R x  ->  E. z  e.  B  y `' R z ) ) )
63, 5supclti 6630 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  `' R
)  e.  A )
71, 6syl5eqel 2171 1  |-  ( ph  -> inf ( B ,  A ,  R )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356   class class class wbr 3820   `'ccnv 4409   supcsup 6614  infcinf 6615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-cnv 4418  df-iota 4943  df-riota 5563  df-sup 6616  df-inf 6617
This theorem is referenced by:  infrenegsupex  9007  supminfex  9010  infssuzledc  10813
  Copyright terms: Public domain W3C validator