ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opswapg Unicode version

Theorem opswapg 4993
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
opswapg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )

Proof of Theorem opswapg
StepHypRef Expression
1 cnvsng 4992 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 3715 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 elex 2669 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
4 elex 2669 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
5 opexg 4118 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anr 286 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
7 unisng 3721 . . 3  |-  ( <. B ,  A >.  e. 
_V  ->  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >. )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >. )
92, 8eqtrd 2148 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   {csn 3495   <.cop 3498   U.cuni 3704   `'ccnv 4506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515
This theorem is referenced by:  2nd1st  6044  cnvf1olem  6087  brtposg  6117  dftpos4  6126  tpostpos  6127  xpcomco  6686  fsumcnv  11157  txswaphmeolem  12395
  Copyright terms: Public domain W3C validator