ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opswapg Unicode version

Theorem opswapg 4995
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
opswapg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )

Proof of Theorem opswapg
StepHypRef Expression
1 cnvsng 4994 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 3717 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 elex 2671 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
4 elex 2671 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
5 opexg 4120 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anr 288 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
7 unisng 3723 . . 3  |-  ( <. B ,  A >.  e. 
_V  ->  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >. )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >. )
92, 8eqtrd 2150 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   {csn 3497   <.cop 3500   U.cuni 3706   `'ccnv 4508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517
This theorem is referenced by:  2nd1st  6046  cnvf1olem  6089  brtposg  6119  dftpos4  6128  tpostpos  6129  xpcomco  6688  fsumcnv  11174  txswaphmeolem  12416
  Copyright terms: Public domain W3C validator