Theorem opswapg 5156

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5155	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )
2	1	unieqd 3850	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = U. { <. B , A >. } )
3		elex 2774	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
4		elex 2774	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		opexg 4261	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
7		unisng 3856	. . 3 |- ( <. B , A >. e. _V -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
9	2, 8	eqtrd 2229	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3622   <.cop 3625   U.cuni 3839   `'ccnv 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671

This theorem is referenced by:  2nd1st  6238  cnvf1olem  6282  brtposg  6312  dftpos4  6321  tpostpos  6322  xpcomco  6885  fsumcnv  11602  fprodcnv  11790  txswaphmeolem  14556