Theorem opswapg 5097

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5096	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )
2	1	unieqd 3807	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = U. { <. B , A >. } )
3		elex 2741	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
4		elex 2741	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		opexg 4213	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anr 288	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
7		unisng 3813	. . 3 |- ( <. B , A >. e. _V -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
9	2, 8	eqtrd 2203	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   `'ccnv 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619

This theorem is referenced by:  2nd1st  6159  cnvf1olem  6203  brtposg  6233  dftpos4  6242  tpostpos  6243  xpcomco  6804  fsumcnv  11400  fprodcnv  11588  txswaphmeolem  13114