ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opswapg Unicode version

Theorem opswapg 4883
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
opswapg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )

Proof of Theorem opswapg
StepHypRef Expression
1 cnvsng 4882 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 3647 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 elex 2624 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
4 elex 2624 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
5 opexg 4029 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
63, 4, 5syl2anr 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
7 unisng 3653 . . 3  |-  ( <. B ,  A >.  e. 
_V  ->  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >. )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >. )
92, 8eqtrd 2117 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   _Vcvv 2615   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3636   `'ccnv 4410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419
This theorem is referenced by:  2nd1st  5907  cnvf1olem  5946  brtposg  5973  dftpos4  5982  tpostpos  5983  xpcomco  6494
  Copyright terms: Public domain W3C validator