Theorem opswapg 5188

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5187	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )
2	1	unieqd 3875	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = U. { <. B , A >. } )
3		elex 2788	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
4		elex 2788	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		opexg 4290	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
7		unisng 3881	. . 3 |- ( <. B , A >. e. _V -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
9	2, 8	eqtrd 2240	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   <.cop 3646   U.cuni 3864   `'ccnv 4692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701

This theorem is referenced by:  2nd1st  6289  cnvf1olem  6333  brtposg  6363  dftpos4  6372  tpostpos  6373  xpcomco  6946  fsumcnv  11863  fprodcnv  12051  txswaphmeolem  14907