Theorem opswapg 5223

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5222	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )
2	1	unieqd 3904	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = U. { <. B , A >. } )
3		elex 2814	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
4		elex 2814	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
7		unisng 3910	. . 3 |- ( <. B , A >. e. _V -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. { <. B , A >. } = <. B , A >. )
9	2, 8	eqtrd 2264	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {csn 3669   <.cop 3672   U.cuni 3893   `'ccnv 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733

This theorem is referenced by:  2nd1st  6342  cnvf1olem  6388  brtposg  6419  dftpos4  6428  tpostpos  6429  xpcomco  7009  fsumcnv  11997  fprodcnv  12185  txswaphmeolem  15043