ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  csbrng Unicode version

Theorem csbrng 5086
Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbrng  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng
Dummy variables  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 3118 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B } )
2 sbcexg 3017 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B ) )
3 sbcel2g 3078 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
43exbidv 1825 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. w [. A  /  x ]. <. w ,  y
>.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
52, 4bitrd 188 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B  <->  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
65abbidv 2295 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  [. A  /  x ]. E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
71, 6eqtrd 2210 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  B }  =  { y  |  E. w <. w ,  y >.  e.  [_ A  /  x ]_ B } )
8 dfrn3 4812 . . 3  |-  ran  B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
98csbeq2i 3084 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  [_ A  /  x ]_ { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  B }
10 dfrn3 4812 . 2  |-  ran  [_ A  /  x ]_ B  =  { y  |  E. w <. w ,  y
>.  e.  [_ A  /  x ]_ B }
117, 9, 103eqtr4g 2235 1  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ ran  B  =  ran  [_ A  /  x ]_ B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   {cab 2163   [.wsbc 2962   [_csb 3057   <.cop 3594   ran crn 4624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634
This theorem is referenced by:  sbcfg  5360
  Copyright terms: Public domain W3C validator