Theorem csbrng 5128

Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbrng	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3143	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } )
2		sbcexg 3041	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B ) )
3		sbcel2g 3102	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1836	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2311	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2226	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfrn3 4852	. . 3 |- ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
9	8	csbeq2i 3108	. 2 |- [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B }
10		dfrn3 4852	. 2 |- ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2251	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   [.wsbc 2986   [_csb 3081   <.cop 3622   ran crn 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671

This theorem is referenced by:  sbcfg  5403