Theorem csbrng 5008

Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbrng	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3066	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } )
2		sbcexg 2967	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B ) )
3		sbcel2g 3028	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1798	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2258	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2173	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfrn3 4736	. . 3 |- ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
9	8	csbeq2i 3034	. 2 |- [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B }
10		dfrn3 4736	. 2 |- ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2198	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   [.wsbc 2913   [_csb 3007   <.cop 3535   ran crn 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  sbcfg  5279