Theorem csbrng 5150

Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbrng	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3157	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } )
2		sbcexg 3055	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B ) )
3		sbcel2g 3116	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1849	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2324	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2239	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfrn3 4872	. . 3 |- ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
9	8	csbeq2i 3122	. 2 |- [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B }
10		dfrn3 4872	. 2 |- ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2264	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   [.wsbc 3000   [_csb 3095   <.cop 3638   ran crn 4681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-br 4049  df-opab 4111  df-cnv 4688  df-dm 4690  df-rn 4691

This theorem is referenced by:  sbcfg  5431