Theorem csbrng 5223

Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbrng	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3199	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } )
2		sbcexg 3096	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B ) )
3		sbcel2g 3158	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1874	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2352	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2265	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfrn3 4943	. . 3 |- ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
9	8	csbeq2i 3164	. 2 |- [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B }
10		dfrn3 4943	. 2 |- ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2290	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   {cab 2218   [.wsbc 3041   [_csb 3137   <.cop 3691   ran crn 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-cnv 4756  df-dm 4758  df-rn 4759

This theorem is referenced by:  sbcfg  5506