Theorem csbrng 5072

Description: Distribute proper substitution through the range of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbrng	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbrng

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3110	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } )
2		sbcexg 3009	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B ) )
3		sbcel2g 3070	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4	3	exbidv 1818	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
5	2, 4	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
6	5	abbidv 2288	. . 3 |- ( A e. V -> { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
7	1, 6	eqtrd 2203	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
8		dfrn3 4800	. . 3 |- ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
9	8	csbeq2i 3076	. 2 |- [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B }
10		dfrn3 4800	. 2 |- ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B }
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2228	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   [.wsbc 2955   [_csb 3049   <.cop 3586   ran crn 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622

This theorem is referenced by:  sbcfg  5346