Theorem rescnvcnv 4906

Description: The restriction of the double converse of a class. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rescnvcnv	|- ( `' `' A |` B ) = ( A |` B )

Proof of Theorem rescnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 4897	. . 3 |- `' `' A = ( A |` _V )
2	1	reseq1i 4722	. 2 |- ( `' `' A |` B ) = ( ( A |` _V ) |` B )
3		resres 4738	. 2 |- ( ( A |` _V ) |` B ) = ( A |` ( _V i^i B ) )
4		ssv 3047	. . . 4 |- B C_ _V
5		sseqin2 3220	. . . 4 |- ( B C_ _V <-> ( _V i^i B ) = B )
6	4, 5	mpbi 144	. . 3 |- ( _V i^i B ) = B
7	6	reseq2i 4723	. 2 |- ( A |` ( _V i^i B ) ) = ( A |` B )
8	2, 3, 7	3eqtri 2113	1 |- ( `' `' A |` B ) = ( A |` B )

Syntax hints:   = wceq 1290   _Vcvv 2620   i^i cin 2999   C_ wss 3000   `'ccnv 4450   |` cres 4453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-res 4463

This theorem is referenced by:  cnvcnvres  4907  imacnvcnv  4908  resdm2  4934  resdmres  4935  coires1  4961  cocnvres  4968  f1oresrab  5477