Theorem dffv3g 5551

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	|- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, V

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5263	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
2		vex 2763	. . . 4 |- x e. _V
3		elimasng 5034	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> <. A , x >. e. F ) )
4		df-br 4031	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
5	3, 4	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
6	2, 5	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
7	6	iotabidv 5238	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x x e. ( F " { A } ) ) = ( iota x A F x ) )
8	1, 7	eqtr4id 2245	1 |- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   <.cop 3622   class class class wbr 4030   "cima 4663   iotacio 5214   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  dffv4g  5552  fvco2  5627  shftval  10972