Theorem dffv3g 5482

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	|- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, V

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5196	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
2		vex 2729	. . . 4 |- x e. _V
3		elimasng 4972	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> <. A , x >. e. F ) )
4		df-br 3983	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
5	3, 4	bitr4di 197	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
6	2, 5	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
7	6	iotabidv 5174	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x x e. ( F " { A } ) ) = ( iota x A F x ) )
8	1, 7	eqtr4id 2218	1 |- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   class class class wbr 3982   "cima 4607   iotacio 5151   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  dffv4g  5483  fvco2  5555  shftval  10767