Theorem dffv3g 5463

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	|- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, V

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5177	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
2		vex 2715	. . . 4 |- x e. _V
3		elimasng 4953	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> <. A , x >. e. F ) )
4		df-br 3966	. . . . 5 |- ( A F x <-> <. A , x >. e. F )
5	3, 4	bitr4di 197	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. _V ) -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
6	2, 5	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( F " { A } ) <-> A F x ) )
7	6	iotabidv 5155	. 2 |- ( A e. V -> ( iota x x e. ( F " { A } ) ) = ( iota x A F x ) )
8	1, 7	eqtr4id 2209	1 |- ( A e. V -> ( F ` A ) = ( iota x x e. ( F " { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3965   "cima 4588   iotacio 5132   ` cfv 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-cnv 4593  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fv 5177

This theorem is referenced by:  dffv4g  5464  fvco2  5536  shftval  10720