ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval Unicode version

Theorem shftval 10604
Description: Value of a sequence shifted by  A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem shftval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
21shftfib 10602 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) " { B } )  =  ( F " { ( B  -  A ) } ) )
32eleq2d 2209 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( ( F  shift  A )
" { B }
)  <->  x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
43iotabidv 5109 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota x x  e.  ( ( F 
shift  A ) " { B } ) )  =  ( iota x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
5 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
6 dffv3g 5417 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( F  shift  A ) `
 B )  =  ( iota x x  e.  ( ( F 
shift  A ) " { B } ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( iota x x  e.  ( ( F  shift  A ) " { B } ) ) )
8 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
95, 8subcld 8080 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
10 dffv3g 5417 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  CC  ->  ( F `  ( B  -  A ) )  =  ( iota x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  ( B  -  A )
)  =  ( iota
x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
124, 7, 113eqtr4d 2182 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   "cima 4542   iotacio 5086   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625    - cmin 7940    shift cshi 10593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942  df-shft 10594
This theorem is referenced by:  shftval2  10605  shftval4  10607  shftval5  10608  shftf  10609  shftvalg  10615  isumshft  11266
  Copyright terms: Public domain W3C validator