Theorem shftval 11514

Description: Value of a sequence shifted by A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Proof of Theorem shftval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 |- F e. _V
2	1	shftfib 11512	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )
3	2	eleq2d 2304	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( x e. ( ( F shift A ) " { B } ) <-> x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
4	3	iotabidv 5337	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
6		dffv3g 5668	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
8		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
9	5, 8	subcld 8586	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
10		dffv3g 5668	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2277	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3691   "cima 4754   iotacio 5312   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   CCcc 8127   - cmin 8446   shift cshi 11503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8448  df-shft 11504

This theorem is referenced by:  shftval2  11515  shftval4  11517  shftval5  11518  shftf  11519  shftvalg  11525  isumshft  12180