ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval Unicode version

Theorem shftval 10259
Description: Value of a sequence shifted by  A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem shftval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
21shftfib 10257 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) " { B } )  =  ( F " { ( B  -  A ) } ) )
32eleq2d 2157 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( ( F  shift  A )
" { B }
)  <->  x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
43iotabidv 5001 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota x x  e.  ( ( F 
shift  A ) " { B } ) )  =  ( iota x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
5 simpr 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
6 dffv3g 5301 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( F  shift  A ) `
 B )  =  ( iota x x  e.  ( ( F 
shift  A ) " { B } ) ) )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( iota x x  e.  ( ( F  shift  A ) " { B } ) ) )
8 simpl 107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
95, 8subcld 7793 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
10 dffv3g 5301 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  CC  ->  ( F `  ( B  -  A ) )  =  ( iota x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
119, 10syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  ( B  -  A )
)  =  ( iota
x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
124, 7, 113eqtr4d 2130 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3446   "cima 4441   iotacio 4978   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348    - cmin 7653    shift cshi 10248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7655  df-shft 10249
This theorem is referenced by:  shftval2  10260  shftval4  10262  shftval5  10263  shftf  10264  shftvalg  10270  isumshft  10884
  Copyright terms: Public domain W3C validator