Theorem shftval 10865

Description: Value of a sequence shifted by A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Proof of Theorem shftval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 |- F e. _V
2	1	shftfib 10863	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )
3	2	eleq2d 2259	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( x e. ( ( F shift A ) " { B } ) <-> x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
4	3	iotabidv 5218	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
6		dffv3g 5530	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
8		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
9	5, 8	subcld 8297	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
10		dffv3g 5530	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2232	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   "cima 4647   iotacio 5194   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   - cmin 8157   shift cshi 10854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sub 8159  df-shft 10855

This theorem is referenced by:  shftval2  10866  shftval4  10868  shftval5  10869  shftf  10870  shftvalg  10876  isumshft  11529