Theorem shftval 11385

Description: Value of a sequence shifted by A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Proof of Theorem shftval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 |- F e. _V
2	1	shftfib 11383	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )
3	2	eleq2d 2301	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( x e. ( ( F shift A ) " { B } ) <-> x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
4	3	iotabidv 5309	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
5		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
6		dffv3g 5635	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
8		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
9	5, 8	subcld 8489	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
10		dffv3g 5635	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {csn 3669   "cima 4728   iotacio 5284   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   - cmin 8349   shift cshi 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-shft 11375

This theorem is referenced by:  shftval2  11386  shftval4  11388  shftval5  11389  shftf  11390  shftvalg  11396  isumshft  12050