Theorem shftval 10597

Description: Value of a sequence shifted by A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
shftval	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Proof of Theorem shftval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 |- F e. _V
2	1	shftfib 10595	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) " { B } ) = ( F " { ( B - A ) } ) )
3	2	eleq2d 2209	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( x e. ( ( F shift A ) " { B } ) <-> x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
4	3	iotabidv 5109	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
5		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
6		dffv3g 5417	. . 3 |- ( B e. CC -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( iota x x e. ( ( F shift A ) " { B } ) ) )
8		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
9	5, 8	subcld 8073	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B - A ) e. CC )
10		dffv3g 5417	. . 3 |- ( ( B - A ) e. CC -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
11	9, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( F ` ( B - A ) ) = ( iota x x e. ( F " { ( B - A ) } ) ) )
12	4, 7, 11	3eqtr4d 2182	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift A ) ` B ) = ( F ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   "cima 4542   iotacio 5086   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   - cmin 7933   shift cshi 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-shft 10587

This theorem is referenced by:  shftval2  10598  shftval4  10600  shftval5  10601  shftf  10602  shftvalg  10608  isumshft  11259