Theorem elimasng 4998

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elimasng	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Proof of Theorem elimasng

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3605	. . . . 5 |- ( y = B -> { y } = { B } )
2	1	imaeq2d 4972	. . . 4 |- ( y = B -> ( A " { y } ) = ( A " { B } ) )
3	2	eleq2d 2247	. . 3 |- ( y = B -> ( z e. ( A " { y } ) <-> z e. ( A " { B } ) ) )
4		opeq1 3780	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , z >. = <. B , z >. )
5	4	eleq1d 2246	. . 3 |- ( y = B -> ( <. y , z >. e. A <-> <. B , z >. e. A ) )
6	3, 5	bibi12d 235	. 2 |- ( y = B -> ( ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A ) <-> ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) ) )
7		eleq1 2240	. . 3 |- ( z = C -> ( z e. ( A " { B } ) <-> C e. ( A " { B } ) ) )
8		opeq2 3781	. . . 4 |- ( z = C -> <. B , z >. = <. B , C >. )
9	8	eleq1d 2246	. . 3 |- ( z = C -> ( <. B , z >. e. A <-> <. B , C >. e. A ) )
10	7, 9	bibi12d 235	. 2 |- ( z = C -> ( ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) <-> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) ) )
11		vex 2742	. . 3 |- y e. _V
12		vex 2742	. . 3 |- z e. _V
13	11, 12	elimasn 4997	. 2 |- ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A )
14	6, 10, 13	vtocl2g 2803	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3594   <.cop 3597   "cima 4631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641

This theorem is referenced by:  eliniseg  5000  inimasn  5048  dffv3g  5513  fvimacnv  5633  funfvima3  5752  elecg  6575  imasnopn  13884