Theorem elimasng 4947

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elimasng	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Proof of Theorem elimasng

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3567	. . . . 5 |- ( y = B -> { y } = { B } )
2	1	imaeq2d 4921	. . . 4 |- ( y = B -> ( A " { y } ) = ( A " { B } ) )
3	2	eleq2d 2224	. . 3 |- ( y = B -> ( z e. ( A " { y } ) <-> z e. ( A " { B } ) ) )
4		opeq1 3737	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , z >. = <. B , z >. )
5	4	eleq1d 2223	. . 3 |- ( y = B -> ( <. y , z >. e. A <-> <. B , z >. e. A ) )
6	3, 5	bibi12d 234	. 2 |- ( y = B -> ( ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A ) <-> ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) ) )
7		eleq1 2217	. . 3 |- ( z = C -> ( z e. ( A " { B } ) <-> C e. ( A " { B } ) ) )
8		opeq2 3738	. . . 4 |- ( z = C -> <. B , z >. = <. B , C >. )
9	8	eleq1d 2223	. . 3 |- ( z = C -> ( <. B , z >. e. A <-> <. B , C >. e. A ) )
10	7, 9	bibi12d 234	. 2 |- ( z = C -> ( ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) <-> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) ) )
11		vex 2712	. . 3 |- y e. _V
12		vex 2712	. . 3 |- z e. _V
13	11, 12	elimasn 4946	. 2 |- ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A )
14	6, 10, 13	vtocl2g 2773	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   {csn 3556   <.cop 3559   "cima 4582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-cnv 4587  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592

This theorem is referenced by:  eliniseg  4949  inimasn  4996  dffv3g  5457  fvimacnv  5575  funfvima3  5691  elecg  6507  imasnopn  12646