Theorem elimasng 5135

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elimasng	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Proof of Theorem elimasng

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3705	. . . . 5 |- ( y = B -> { y } = { B } )
2	1	imaeq2d 5106	. . . 4 |- ( y = B -> ( A " { y } ) = ( A " { B } ) )
3	2	eleq2d 2304	. . 3 |- ( y = B -> ( z e. ( A " { y } ) <-> z e. ( A " { B } ) ) )
4		opeq1 3888	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , z >. = <. B , z >. )
5	4	eleq1d 2303	. . 3 |- ( y = B -> ( <. y , z >. e. A <-> <. B , z >. e. A ) )
6	3, 5	bibi12d 235	. 2 |- ( y = B -> ( ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A ) <-> ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) ) )
7		eleq1 2297	. . 3 |- ( z = C -> ( z e. ( A " { B } ) <-> C e. ( A " { B } ) ) )
8		opeq2 3889	. . . 4 |- ( z = C -> <. B , z >. = <. B , C >. )
9	8	eleq1d 2303	. . 3 |- ( z = C -> ( <. B , z >. e. A <-> <. B , C >. e. A ) )
10	7, 9	bibi12d 235	. 2 |- ( z = C -> ( ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) <-> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) ) )
11		vex 2818	. . 3 |- y e. _V
12		vex 2818	. . 3 |- z e. _V
13	11, 12	elimasn 5134	. 2 |- ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A )
14	6, 10, 13	vtocl2g 2881	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   <.cop 3697   "cima 4757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767

This theorem is referenced by:  eliniseg  5137  inimasn  5185  dffv3g  5671  fvimacnv  5798  funfvima3  5925  elecg  6820  imasnopn  15290