Theorem elimasng 5050

Description: Membership in an image of a singleton. (Contributed by Raph Levien, 21-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elimasng	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Proof of Theorem elimasng

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3644	. . . . 5 |- ( y = B -> { y } = { B } )
2	1	imaeq2d 5022	. . . 4 |- ( y = B -> ( A " { y } ) = ( A " { B } ) )
3	2	eleq2d 2275	. . 3 |- ( y = B -> ( z e. ( A " { y } ) <-> z e. ( A " { B } ) ) )
4		opeq1 3819	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , z >. = <. B , z >. )
5	4	eleq1d 2274	. . 3 |- ( y = B -> ( <. y , z >. e. A <-> <. B , z >. e. A ) )
6	3, 5	bibi12d 235	. 2 |- ( y = B -> ( ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A ) <-> ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) ) )
7		eleq1 2268	. . 3 |- ( z = C -> ( z e. ( A " { B } ) <-> C e. ( A " { B } ) ) )
8		opeq2 3820	. . . 4 |- ( z = C -> <. B , z >. = <. B , C >. )
9	8	eleq1d 2274	. . 3 |- ( z = C -> ( <. B , z >. e. A <-> <. B , C >. e. A ) )
10	7, 9	bibi12d 235	. 2 |- ( z = C -> ( ( z e. ( A " { B } ) <-> <. B , z >. e. A ) <-> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) ) )
11		vex 2775	. . 3 |- y e. _V
12		vex 2775	. . 3 |- z e. _V
13	11, 12	elimasn 5049	. 2 |- ( z e. ( A " { y } ) <-> <. y , z >. e. A )
14	6, 10, 13	vtocl2g 2837	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( C e. ( A " { B } ) <-> <. B , C >. e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   <.cop 3636   "cima 4678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688

This theorem is referenced by:  eliniseg  5052  inimasn  5100  dffv3g  5572  fvimacnv  5695  funfvima3  5818  elecg  6660  imasnopn  14771