Theorem dffv3g 5492

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5206	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
2		vex 2733	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		elimasng 4979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
4		df-br 3990	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
5	3, 4	bitr4di 197	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	2, 5	mpan2 423	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	6	iotabidv 5181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
8	1, 7	eqtr4id 2222	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   “ cima 4614  ℩cio 5158  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  dffv4g  5493  fvco2  5565  shftval  10789