Theorem dffv3g 5557

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5267	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
2		vex 2766	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		elimasng 5038	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
4		df-br 4035	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
5	3, 4	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	2, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	6	iotabidv 5242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
8	1, 7	eqtr4id 2248	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034   “ cima 4667  ℩cio 5218  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  dffv4g  5558  fvco2  5633  shftval  11007