Theorem dffv3g 5513

Description: A definition of function value in terms of iota. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dffv3g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dffv3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5226	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
2		vex 2742	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		elimasng 4998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
4		df-br 4006	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
5	3, 4	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	2, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴}) ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	6	iotabidv 5201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
8	1, 7	eqtr4id 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  {csn 3594  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005   “ cima 4631  ℩cio 5178  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  dffv4g  5514  fvco2  5587  shftval  10836