Theorem dfrn2 4855

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4675	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4674	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2766	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4850	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1619	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2312	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2221	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1364   E.wex 1506   {cab 2182   class class class wbr 4034   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   ran crn 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675

This theorem is referenced by:  dfrn3  4856  dfdm4  4859  dm0rn0  4884  dmmrnm  4886  dfrnf  4908  dfima2  5012  funcnv3  5321