Theorem dfrn2 4799

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4622	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4621	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2733	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4794	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2286	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2195	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1348   E.wex 1485   {cab 2156   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622

This theorem is referenced by:  dfrn3  4800  dfdm4  4803  dm0rn0  4828  dmmrnm  4830  dfrnf  4852  dfima2  4955  funcnv3  5260