Theorem dfrn2 4735

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4558	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4557	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2692	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4730	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1585	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2256	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2165	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1332   E.wex 1469   {cab 2126   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   ran crn 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  dfrn3  4736  dfdm4  4739  dm0rn0  4764  dmmrnm  4766  dfrnf  4788  dfima2  4891  funcnv3  5193