Theorem dfrn2 4792

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4615	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4614	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4787	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1593	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2282	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2190	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1343   E.wex 1480   {cab 2151   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   ran crn 4605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615

This theorem is referenced by:  dfrn3  4793  dfdm4  4796  dm0rn0  4821  dmmrnm  4823  dfrnf  4845  dfima2  4948  funcnv3  5250