Theorem dfrn2 4910

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4730	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4729	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2802	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2802	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4905	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2345	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2254	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1395   E.wex 1538   {cab 2215   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   ran crn 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730

This theorem is referenced by:  dfrn3  4911  dfdm4  4915  dm0rn0  4940  dmmrnm  4943  dfrnf  4965  dfima2  5070  funcnv3  5383