Theorem dfrn2 4968

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4785	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4784	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2824	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4963	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2354	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2263	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   E.wex 1545   {cab 2224   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   ran crn 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785

This theorem is used by:  dfrn3  4969  dfdm4  4973  dm0rn0  4998  dmmrnm  5001  dfrnf  5023  dfima2  5128  funcnv3  5443