Theorem dfrn2 4817

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4639	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4638	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2742	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2742	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4812	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1605	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2293	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2202	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1353   E.wex 1492   {cab 2163   class class class wbr 4005   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   ran crn 4629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639

This theorem is referenced by:  dfrn3  4818  dfdm4  4821  dm0rn0  4846  dmmrnm  4848  dfrnf  4870  dfima2  4974  funcnv3  5280