Theorem dfrn2 4884

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4704	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4703	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2779	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2779	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4879	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1629	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2323	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2232	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1373   E.wex 1516   {cab 2193   class class class wbr 4059   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   ran crn 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704

This theorem is referenced by:  dfrn3  4885  dfdm4  4889  dm0rn0  4914  dmmrnm  4916  dfrnf  4938  dfima2  5043  funcnv3  5355