Theorem dfrn2 4866

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4686	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4685	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2775	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4861	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1628	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2321	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2230	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1373   E.wex 1515   {cab 2191   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   ran crn 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686

This theorem is referenced by:  dfrn3  4867  dfdm4  4870  dm0rn0  4895  dmmrnm  4897  dfrnf  4919  dfima2  5024  funcnv3  5336