Theorem dfrn2 4830

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4652	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4651	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2755	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2755	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4825	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1616	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2305	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2214	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1364   E.wex 1503   {cab 2175   class class class wbr 4018   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   ran crn 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-cnv 4649  df-dm 4651  df-rn 4652

This theorem is referenced by:  dfrn3  4831  dfdm4  4834  dm0rn0  4859  dmmrnm  4861  dfrnf  4883  dfima2  4987  funcnv3  5293