Theorem dfrn2 4924

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4742	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4741	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2806	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2806	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4919	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1654	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2347	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2256	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1398   E.wex 1541   {cab 2217   class class class wbr 4093   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   ran crn 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742

This theorem is referenced by:  dfrn3  4925  dfdm4  4929  dm0rn0  4954  dmmrnm  4957  dfrnf  4979  dfima2  5084  funcnv3  5399