Theorem dfrn2 4774

Description: Alternate definition of range. Definition 4 of [Suppes] p. 60. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn2	|- ran A = { y | E. x x A y }

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dfrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4597	. 2 |- ran A = dom `' A
2		df-dm 4596	. 2 |- dom `' A = { y | E. x y `' A x }
3		vex 2715	. . . . 5 |- y e. _V
4		vex 2715	. . . . 5 |- x e. _V
5	3, 4	brcnv 4769	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
6	5	exbii 1585	. . 3 |- ( E. x y `' A x <-> E. x x A y )
7	6	abbii 2273	. 2 |- { y | E. x y `' A x } = { y | E. x x A y }
8	1, 2, 7	3eqtri 2182	1 |- ran A = { y | E. x x A y }

Syntax hints:   = wceq 1335   E.wex 1472   {cab 2143   class class class wbr 3965   `'ccnv 4585   dom cdm 4586   ran crn 4587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-cnv 4594  df-dm 4596  df-rn 4597

This theorem is referenced by:  dfrn3  4775  dfdm4  4778  dm0rn0  4803  dmmrnm  4805  dfrnf  4827  dfima2  4930  funcnv3  5232