ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funcnv3 Unicode version

Theorem funcnv3 5141
Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5140). (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
funcnv3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv3
StepHypRef Expression
1 dfrn2 4685 . . . . . 6  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
21abeq2i 2223 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x  x A y )
32biimpi 119 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  ->  E. x  x A
y )
43biantrurd 301 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
( E* x  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) ) )
54ralbiia 2421 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E* x  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
6 funcnv 5140 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E* x  x A y )
7 df-reu 2395 . . . 4  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  E! x
( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
8 vex 2658 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
9 vex 2658 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
108, 9breldm 4701 . . . . . 6  |-  ( x A y  ->  x  e.  dom  A )
1110pm4.71ri 387 . . . . 5  |-  ( x A y  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
1211eubii 1982 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
E! x ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
13 eu5 2020 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
147, 12, 133bitr2i 207 . . 3  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) )
1514ralbii 2413 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
165, 6, 153bitr4i 211 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104   E.wex 1449    e. wcel 1461   E!weu 1973   E*wmo 1974   A.wral 2388   E!wreu 2390   class class class wbr 3893   `'ccnv 4496   dom cdm 4497   ran crn 4498   Fun wfun 5073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-fun 5081
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator