Theorem funcnv3 5260

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5259). (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4799	. . . . . 6 |- ran A = { y | E. x x A y }
2	1	abeq2i 2281	. . . . 5 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( y e. ran A -> E. x x A y )
4	3	biantrurd 303	. . 3 |- ( y e. ran A -> ( E* x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) ) )
5	4	ralbiia 2484	. 2 |- ( A. y e. ran A E* x x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
6		funcnv 5259	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E* x x A y )
7		df-reu 2455	. . . 4 |- ( E! x e. dom A x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
8		vex 2733	. . . . . . 7 |- x e. _V
9		vex 2733	. . . . . . 7 |- y e. _V
10	8, 9	breldm 4815	. . . . . 6 |- ( x A y -> x e. dom A )
11	10	pm4.71ri 390	. . . . 5 |- ( x A y <-> ( x e. dom A /\ x A y ) )
12	11	eubii 2028	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
13		eu5 2066	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
14	7, 12, 13	3bitr2i 207	. . 3 |- ( E! x e. dom A x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
15	14	ralbii 2476	. 2 |- ( A. y e. ran A E! x e. dom A x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
16	5, 6, 15	3bitr4i 211	1 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   A.wral 2448   E!wreu 2450   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200

This theorem is referenced by: (None)