Theorem funcnv3 5141

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5140). (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4685	. . . . . 6 |- ran A = { y | E. x x A y }
2	1	abeq2i 2223	. . . . 5 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( y e. ran A -> E. x x A y )
4	3	biantrurd 301	. . 3 |- ( y e. ran A -> ( E* x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) ) )
5	4	ralbiia 2421	. 2 |- ( A. y e. ran A E* x x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
6		funcnv 5140	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E* x x A y )
7		df-reu 2395	. . . 4 |- ( E! x e. dom A x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
8		vex 2658	. . . . . . 7 |- x e. _V
9		vex 2658	. . . . . . 7 |- y e. _V
10	8, 9	breldm 4701	. . . . . 6 |- ( x A y -> x e. dom A )
11	10	pm4.71ri 387	. . . . 5 |- ( x A y <-> ( x e. dom A /\ x A y ) )
12	11	eubii 1982	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
13		eu5 2020	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
14	7, 12, 13	3bitr2i 207	. . 3 |- ( E! x e. dom A x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
15	14	ralbii 2413	. 2 |- ( A. y e. ran A E! x e. dom A x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
16	5, 6, 15	3bitr4i 211	1 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1449   e. wcel 1461   E!weu 1973   E*wmo 1974   A.wral 2388   E!wreu 2390   class class class wbr 3893   `'ccnv 4496   dom cdm 4497   ran crn 4498   Fun wfun 5073

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-v 2657  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-fun 5081

This theorem is referenced by: (None)