Theorem funcnv3 5438

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5437). (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4963	. . . . . 6 |- ran A = { y | E. x x A y }
2	1	abeq2i 2349	. . . . 5 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
3	2	biimpi 120	. . . 4 |- ( y e. ran A -> E. x x A y )
4	3	biantrurd 305	. . 3 |- ( y e. ran A -> ( E* x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) ) )
5	4	ralbiia 2564	. 2 |- ( A. y e. ran A E* x x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
6		funcnv 5437	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E* x x A y )
7		df-reu 2535	. . . 4 |- ( E! x e. dom A x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
8		vex 2824	. . . . . . 7 |- x e. _V
9		vex 2824	. . . . . . 7 |- y e. _V
10	8, 9	breldm 4980	. . . . . 6 |- ( x A y -> x e. dom A )
11	10	pm4.71ri 396	. . . . 5 |- ( x A y <-> ( x e. dom A /\ x A y ) )
12	11	eubii 2095	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
13		eu5 2134	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
14	7, 12, 13	3bitr2i 208	. . 3 |- ( E! x e. dom A x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
15	14	ralbii 2556	. 2 |- ( A. y e. ran A E! x e. dom A x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
16	5, 6, 15	3bitr4i 212	1 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1545   E!weu 2086   E*wmo 2087   e. wcel 2209   A.wral 2528   E!wreu 2530   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   ran crn 4770   Fun wfun 5366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374

This theorem is referenced by: (None)