Theorem funcnv3 5225

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5224). (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4767	. . . . . 6 |- ran A = { y | E. x x A y }
2	1	abeq2i 2265	. . . . 5 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( y e. ran A -> E. x x A y )
4	3	biantrurd 303	. . 3 |- ( y e. ran A -> ( E* x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) ) )
5	4	ralbiia 2468	. 2 |- ( A. y e. ran A E* x x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
6		funcnv 5224	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E* x x A y )
7		df-reu 2439	. . . 4 |- ( E! x e. dom A x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
8		vex 2712	. . . . . . 7 |- x e. _V
9		vex 2712	. . . . . . 7 |- y e. _V
10	8, 9	breldm 4783	. . . . . 6 |- ( x A y -> x e. dom A )
11	10	pm4.71ri 390	. . . . 5 |- ( x A y <-> ( x e. dom A /\ x A y ) )
12	11	eubii 2012	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
13		eu5 2050	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
14	7, 12, 13	3bitr2i 207	. . 3 |- ( E! x e. dom A x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
15	14	ralbii 2460	. 2 |- ( A. y e. ran A E! x e. dom A x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
16	5, 6, 15	3bitr4i 211	1 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1469   E!weu 2003   E*wmo 2004   e. wcel 2125   A.wral 2432   E!wreu 2434   class class class wbr 3961   `'ccnv 4578   dom cdm 4579   ran crn 4580   Fun wfun 5157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-fun 5165

This theorem is referenced by: (None)