Theorem funcnv3 5316

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5315). (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4850	. . . . . 6 |- ran A = { y | E. x x A y }
2	1	abeq2i 2304	. . . . 5 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
3	2	biimpi 120	. . . 4 |- ( y e. ran A -> E. x x A y )
4	3	biantrurd 305	. . 3 |- ( y e. ran A -> ( E* x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) ) )
5	4	ralbiia 2508	. 2 |- ( A. y e. ran A E* x x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
6		funcnv 5315	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E* x x A y )
7		df-reu 2479	. . . 4 |- ( E! x e. dom A x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
8		vex 2763	. . . . . . 7 |- x e. _V
9		vex 2763	. . . . . . 7 |- y e. _V
10	8, 9	breldm 4866	. . . . . 6 |- ( x A y -> x e. dom A )
11	10	pm4.71ri 392	. . . . 5 |- ( x A y <-> ( x e. dom A /\ x A y ) )
12	11	eubii 2051	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
13		eu5 2089	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
14	7, 12, 13	3bitr2i 208	. . 3 |- ( E! x e. dom A x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
15	14	ralbii 2500	. 2 |- ( A. y e. ran A E! x e. dom A x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
16	5, 6, 15	3bitr4i 212	1 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1503   E!weu 2042   E*wmo 2043   e. wcel 2164   A.wral 2472   E!wreu 2474   class class class wbr 4029   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   ran crn 4660   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256

This theorem is referenced by: (None)