Theorem funcnv3 5250

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5249). (Contributed by NM, 26-May-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4792	. . . . . 6 |- ran A = { y | E. x x A y }
2	1	abeq2i 2277	. . . . 5 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( y e. ran A -> E. x x A y )
4	3	biantrurd 303	. . 3 |- ( y e. ran A -> ( E* x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) ) )
5	4	ralbiia 2480	. 2 |- ( A. y e. ran A E* x x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
6		funcnv 5249	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E* x x A y )
7		df-reu 2451	. . . 4 |- ( E! x e. dom A x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
8		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
9		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
10	8, 9	breldm 4808	. . . . . 6 |- ( x A y -> x e. dom A )
11	10	pm4.71ri 390	. . . . 5 |- ( x A y <-> ( x e. dom A /\ x A y ) )
12	11	eubii 2023	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> E! x ( x e. dom A /\ x A y ) )
13		eu5 2061	. . . 4 |- ( E! x x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
14	7, 12, 13	3bitr2i 207	. . 3 |- ( E! x e. dom A x A y <-> ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
15	14	ralbii 2472	. 2 |- ( A. y e. ran A E! x e. dom A x A y <-> A. y e. ran A ( E. x x A y /\ E* x x A y ) )
16	5, 6, 15	3bitr4i 211	1 |- ( Fun `' A <-> A. y e. ran A E! x e. dom A x A y )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1480   E!weu 2014   E*wmo 2015   e. wcel 2136   A.wral 2444   E!wreu 2446   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   ran crn 4605   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190

This theorem is referenced by: (None)