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Theorem smores2 6041
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Smo  ( F  |`  A ) )

Proof of Theorem smores2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 6034 . . . . . . 7  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
21simp1bi 958 . . . . . 6  |-  ( Smo 
F  ->  F : dom  F --> On )
3 ffun 5150 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> On  ->  Fun 
F )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  Fun  F )
5 funres 5041 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  A ) )
6 funfn 5031 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <-> 
( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
75, 6sylib 120 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
84, 7syl 14 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  ( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
9 df-ima 4441 . . . . . 6  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
10 imassrn 4772 . . . . . 6  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
119, 10eqsstr3i 3055 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  A )  C_  ran  F
12 frn 5155 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> On  ->  ran 
F  C_  On )
132, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  ran  F  C_  On )
1411, 13syl5ss 3034 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  On )
15 df-f 5006 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On  <->  ( ( F  |`  A )  Fn 
dom  ( F  |`  A )  /\  ran  ( F  |`  A ) 
C_  On ) )
168, 14, 15sylanbrc 408 . . 3  |-  ( Smo 
F  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On )
1716adantr 270 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On )
18 smodm 6038 . . 3  |-  ( Smo 
F  ->  Ord  dom  F
)
19 ordin 4203 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  ( A  i^i  dom  F
) )
20 dmres 4721 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21 ordeq 4190 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom 
F )  ->  ( Ord  dom  ( F  |`  A )  <->  Ord  ( A  i^i  dom  F )
) )
2220, 21ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  ( F  |`  A )  <->  Ord  ( A  i^i  dom  F )
)
2319, 22sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
2423ancoms 264 . . 3  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  Ord  A )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
2518, 24sylan 277 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
26 resss 4724 . . . . . 6  |-  ( F  |`  A )  C_  F
27 dmss 4623 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  A )  C_  dom  F )
2826, 27ax-mp 7 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  dom  F
291simp3bi 960 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
30 ssralv 3083 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  |`  A ) 
C_  dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
3128, 29, 30mpsyl 64 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
3231adantr 270 . . 3  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
33 ordtr1 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
dom  ( F  |`  A )  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  ->  y  e.  dom  ( F  |`  A ) ) )
3425, 33syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
y  e.  dom  ( F  |`  A ) ) )
35 inss1 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
3620, 35eqsstri 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  A
3736sseli 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  y  e.  A )
3834, 37syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
y  e.  A ) )
3938expcomd 1375 . . . . . . . 8  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) ) )
4039imp31 252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
41 fvres 5313 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
4240, 41syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
4336sseli 3019 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  x  e.  A )
44 fvres 5313 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
4543, 44syl 14 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
4645ad2antlr 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4742, 46eleq12d 2158 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ( ( F  |`  A ) `  x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
4847ralbidva 2376 . . . 4  |-  ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ( ( F  |`  A ) `  x )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
4948ralbidva 2376 . . 3  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x )  <->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
5032, 49mpbird 165 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
51 dfsmo2 6034 . 2  |-  ( Smo  ( F  |`  A )  <-> 
( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On  /\  Ord  dom  ( F  |`  A )  /\  A. x  e. 
dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x ) ) )
5217, 25, 50, 51syl3anbrc 1127 1  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Smo  ( F  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    i^i cin 2996    C_ wss 2997   Ord word 4180   Oncon0 4181   dom cdm 4428   ran crn 4429    |` cres 4430   "cima 4431   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   -->wf 4998   ` cfv 5002   Smo wsmo 6032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-tr 3929  df-iord 4184  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-smo 6033
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