Theorem smores2 6199

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Proof of Theorem smores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 6192	. . . . . . 7 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
2	1	simp1bi 997	. . . . . 6 |- ( Smo F -> F : dom F --> On )
3		ffun 5283	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> Fun F )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> Fun F )
5		funres 5172	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun ( F |` A ) )
6		funfn 5161	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( Smo F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
9		df-ima 4560	. . . . . 6 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
10		imassrn 4900	. . . . . 6 |- ( F " A ) C_ ran F
11	9, 10	eqsstrri 3135	. . . . 5 |- ran ( F |` A ) C_ ran F
12		frn 5289	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> ran F C_ On )
13	2, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> ran F C_ On )
14	11, 13	sstrid 3113	. . . 4 |- ( Smo F -> ran ( F |` A ) C_ On )
15		df-f 5135	. . . 4 |- ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On <-> ( ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) /\ ran ( F |` A ) C_ On ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 414	. . 3 |- ( Smo F -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
17	16	adantr 274	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
18		smodm 6196	. . 3 |- ( Smo F -> Ord dom F )
19		ordin 4315	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord ( A i^i dom F ) )
20		dmres 4848	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
21		ordeq 4302	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F ) -> ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) )
23	19, 22	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord dom ( F |` A ) )
24	23	ancoms 266	. . 3 |- ( ( Ord dom F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
25	18, 24	sylan 281	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
26		resss 4851	. . . . . 6 |- ( F |` A ) C_ F
27		dmss 4746	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) C_ F -> dom ( F |` A ) C_ dom F )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) C_ dom F
29	1	simp3bi 999	. . . . 5 |- ( Smo F -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
30		ssralv 3166	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) C_ dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
31	28, 29, 30	mpsyl 65	. . . 4 |- ( Smo F -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
32	31	adantr 274	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
33		ordtr1 4318	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom ( F |` A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
34	25, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
35		inss1 3301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i dom F ) C_ A
36	20, 35	eqsstri 3134	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` A ) C_ A
37	36	sseli 3098	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom ( F |` A ) -> y e. A )
38	34, 37	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. A ) )
39	38	expcomd 1418	. . . . . . . 8 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( x e. dom ( F |` A ) -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
40	39	imp31 254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> y e. A )
41		fvres 5453	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
43	36	sseli 3098	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> x e. A )
44		fvres 5453	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47	42, 46	eleq12d 2211	. . . . 5 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
48	47	ralbidva 2434	. . . 4 |- ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> ( A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
49	48	ralbidva 2434	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
50	32, 49	mpbird 166	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) )
51		dfsmo2 6192	. 2 |- ( Smo ( F |` A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On /\ Ord dom ( F |` A ) /\ A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) ) )
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1166	1 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   i^i cin 3075   C_ wss 3076   Ord word 4292   Oncon0 4293   dom cdm 4547   ran crn 4548   |` cres 4549   "cima 4550   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131   Smo wsmo 6190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-iord 4296  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-smo 6191

This theorem is referenced by: (None)