Theorem smores2 6380

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Proof of Theorem smores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 6373	. . . . . . 7 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
2	1	simp1bi 1015	. . . . . 6 |- ( Smo F -> F : dom F --> On )
3		ffun 5428	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> Fun F )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> Fun F )
5		funres 5312	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun ( F |` A ) )
6		funfn 5301	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
8	4, 7	syl 14	. . . 4 |- ( Smo F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
9		df-ima 4688	. . . . . 6 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
10		imassrn 5033	. . . . . 6 |- ( F " A ) C_ ran F
11	9, 10	eqsstrri 3226	. . . . 5 |- ran ( F |` A ) C_ ran F
12		frn 5434	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> ran F C_ On )
13	2, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( Smo F -> ran F C_ On )
14	11, 13	sstrid 3204	. . . 4 |- ( Smo F -> ran ( F |` A ) C_ On )
15		df-f 5275	. . . 4 |- ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On <-> ( ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) /\ ran ( F |` A ) C_ On ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 417	. . 3 |- ( Smo F -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
17	16	adantr 276	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
18		smodm 6377	. . 3 |- ( Smo F -> Ord dom F )
19		ordin 4432	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord ( A i^i dom F ) )
20		dmres 4980	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
21		ordeq 4419	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F ) -> ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) )
23	19, 22	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord dom ( F |` A ) )
24	23	ancoms 268	. . 3 |- ( ( Ord dom F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
25	18, 24	sylan 283	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
26		resss 4983	. . . . . 6 |- ( F |` A ) C_ F
27		dmss 4877	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) C_ F -> dom ( F |` A ) C_ dom F )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) C_ dom F
29	1	simp3bi 1017	. . . . 5 |- ( Smo F -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
30		ssralv 3257	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) C_ dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
31	28, 29, 30	mpsyl 65	. . . 4 |- ( Smo F -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
32	31	adantr 276	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
33		ordtr1 4435	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom ( F |` A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
34	25, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
35		inss1 3393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i dom F ) C_ A
36	20, 35	eqsstri 3225	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` A ) C_ A
37	36	sseli 3189	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom ( F |` A ) -> y e. A )
38	34, 37	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. A ) )
39	38	expcomd 1461	. . . . . . . 8 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( x e. dom ( F |` A ) -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
40	39	imp31 256	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> y e. A )
41		fvres 5600	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
43	36	sseli 3189	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> x e. A )
44		fvres 5600	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47	42, 46	eleq12d 2276	. . . . 5 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
48	47	ralbidva 2502	. . . 4 |- ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> ( A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
49	48	ralbidva 2502	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
50	32, 49	mpbird 167	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) )
51		dfsmo2 6373	. 2 |- ( Smo ( F |` A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On /\ Ord dom ( F |` A ) /\ A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) ) )
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1184	1 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   i^i cin 3165   C_ wss 3166   Ord word 4409   Oncon0 4410   dom cdm 4675   ran crn 4676   |` cres 4677   "cima 4678   Fun wfun 5265   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   Smo wsmo 6371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-tr 4143  df-iord 4413  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-smo 6372

This theorem is referenced by: (None)