Theorem dmxpid 4832

Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A ) = A

Proof of Theorem dmxpid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4617	. . 3 |- ( A X. A ) = { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
2	1	dmeqi 4812	. 2 |- dom ( A X. A ) = dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
3		elex2 2746	. . . 4 |- ( y e. A -> E. x x e. A )
4	3	rgen 2523	. . 3 |- A. y e. A E. x x e. A
5		dmopab3 4824	. . 3 |- ( A. y e. A E. x x e. A <-> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A )
6	4, 5	mpbi 144	. 2 |- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A
7	2, 6	eqtri 2191	1 |- dom ( A X. A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   {copab 4049   X. cxp 4609   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  dmxpin  4833  xpid11  4834  sqxpeq0  5034  xpider  6584  psmetdmdm  13118  xmetdmdm  13150