Theorem dmxpid 4908

Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A ) = A

Proof of Theorem dmxpid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4689	. . 3 |- ( A X. A ) = { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
2	1	dmeqi 4888	. 2 |- dom ( A X. A ) = dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
3		elex2 2790	. . . 4 |- ( y e. A -> E. x x e. A )
4	3	rgen 2560	. . 3 |- A. y e. A E. x x e. A
5		dmopab3 4900	. . 3 |- ( A. y e. A E. x x e. A <-> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A )
6	4, 5	mpbi 145	. 2 |- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A
7	2, 6	eqtri 2227	1 |- dom ( A X. A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   {copab 4112   X. cxp 4681   dom cdm 4683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-dm 4693

This theorem is referenced by:  dmxpin  4909  xpid11  4910  sqxpeq0  5115  xpider  6706  psmetdmdm  14871  xmetdmdm  14903