Theorem dmxpid 4808

Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A ) = A

Proof of Theorem dmxpid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4593	. . 3 |- ( A X. A ) = { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
2	1	dmeqi 4788	. 2 |- dom ( A X. A ) = dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
3		elex2 2728	. . . 4 |- ( y e. A -> E. x x e. A )
4	3	rgen 2510	. . 3 |- A. y e. A E. x x e. A
5		dmopab3 4800	. . 3 |- ( A. y e. A E. x x e. A <-> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A )
6	4, 5	mpbi 144	. 2 |- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A
7	2, 6	eqtri 2178	1 |- dom ( A X. A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   {copab 4025   X. cxp 4585   dom cdm 4587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3967  df-opab 4027  df-xp 4593  df-dm 4597

This theorem is referenced by:  dmxpin  4809  xpid11  4810  sqxpeq0  5010  xpider  6552  psmetdmdm  12766  xmetdmdm  12798