Theorem dmxpid 4760

Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A ) = A

Proof of Theorem dmxpid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4545	. . 3 |- ( A X. A ) = { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
2	1	dmeqi 4740	. 2 |- dom ( A X. A ) = dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
3		elex2 2702	. . . 4 |- ( y e. A -> E. x x e. A )
4	3	rgen 2485	. . 3 |- A. y e. A E. x x e. A
5		dmopab3 4752	. . 3 |- ( A. y e. A E. x x e. A <-> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A )
6	4, 5	mpbi 144	. 2 |- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A
7	2, 6	eqtri 2160	1 |- dom ( A X. A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   {copab 3988   X. cxp 4537   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  dmxpin  4761  xpid11  4762  sqxpeq0  4962  xpider  6500  psmetdmdm  12493  xmetdmdm  12525