Theorem dmxpid 4850

Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A ) = A

Proof of Theorem dmxpid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4634	. . 3 |- ( A X. A ) = { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
2	1	dmeqi 4830	. 2 |- dom ( A X. A ) = dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) }
3		elex2 2755	. . . 4 |- ( y e. A -> E. x x e. A )
4	3	rgen 2530	. . 3 |- A. y e. A E. x x e. A
5		dmopab3 4842	. . 3 |- ( A. y e. A E. x x e. A <-> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A )
6	4, 5	mpbi 145	. 2 |- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ x e. A ) } = A
7	2, 6	eqtri 2198	1 |- dom ( A X. A ) = A

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   {copab 4065   X. cxp 4626   dom cdm 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-dm 4638

This theorem is referenced by:  dmxpin  4851  xpid11  4852  sqxpeq0  5054  xpider  6609  psmetdmdm  13985  xmetdmdm  14017