Theorem xmetdmdm 14253

Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetdmdm	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = dom dom D )

Proof of Theorem xmetdmdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 14247	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2	1	fdmd 5387	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> dom D = ( X X. X ) )
3	2	dmeqd 4844	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
4		dmxpid 4863	. 2 |- dom ( X X. X ) = X
5	3, 4	eqtr2di 2239	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = dom dom D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   X. cxp 4639   dom cdm 4641   ` cfv 5231   RR*cxr 8009   *Metcxmet 13810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-map 6668  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-xmet 13818

This theorem is referenced by:  metdmdm  14254  xmetunirn  14255