Theorem psmetdmdm 14829

Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetdmdm	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Proof of Theorem psmetdmdm

Dummy variables x y z w d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 14338	. . . . . 6 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5664	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 14828	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
4	3	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
5	2, 4	mpancom 422	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
7		fdm 5433	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
8	7	dmeqd 4881	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
10		dmxpid 4900	. 2 |- dom ( X X. X ) = X
11	9, 10	eqtr2di 2255	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   class class class wbr 4045   X. cxp 4674   dom cdm 4676   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ^m cmap 6737   0cc0 7927   RR*cxr 8108   <_ cle 8110   +ecxad 9894  PsMetcpsmet 14330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-map 6739  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-psmet 14338

This theorem is referenced by:  blfvalps  14890