Theorem psmetdmdm 13118

Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetdmdm	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Proof of Theorem psmetdmdm

Dummy variables x y z w d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 12781	. . . . . 6 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5578	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 13117	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
4	3	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
5	2, 4	mpancom 420	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
6	5	simpld 111	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
7		fdm 5353	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
8	7	dmeqd 4813	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
10		dmxpid 4832	. 2 |- dom ( X X. X ) = X
11	9, 10	eqtr2di 2220	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   dom cdm 4611   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626   0cc0 7774   RR*cxr 7953   <_ cle 7955   +ecxad 9727  PsMetcpsmet 12773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-psmet 12781

This theorem is referenced by:  blfvalps  13179