Theorem psmetdmdm 15050

Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetdmdm	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Proof of Theorem psmetdmdm

Dummy variables x y z w d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 14559	. . . . . 6 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5729	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 15049	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
4	3	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
5	2, 4	mpancom 422	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
7		fdm 5488	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
8	7	dmeqd 4933	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
10		dmxpid 4953	. 2 |- dom ( X X. X ) = X
11	9, 10	eqtr2di 2281	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817   0cc0 8032   RR*cxr 8213   <_ cle 8215   +ecxad 10005  PsMetcpsmet 14551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-psmet 14559

This theorem is referenced by:  blfvalps  15111