Theorem psmetdmdm 15351

Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetdmdm	|- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Proof of Theorem psmetdmdm

Dummy variables x y z w d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 14855	. . . . . 6 |- PsMet = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x ( ( y d y ) = 0 /\ A. z e. x A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
2	1	mptrcl 5785	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
3		ispsmet 15350	. . . . . 6 |- ( X e. _V -> ( D e. (PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
4	3	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
5	2, 4	mpancom 426	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
6	5	simpld 112	. . 3 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
7		fdm 5537	. . . 4 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) )
8	7	dmeqd 4981	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> dom dom D = dom ( X X. X ) )
10		dmxpid 5001	. 2 |- dom ( X X. X ) = X
11	9, 10	eqtr2di 2288	1 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X = dom dom D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   class class class wbr 4128   X. cxp 4770   dom cdm 4772   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   ^m cmap 6915   0cc0 8172   RR*cxr 8352   <_ cle 8354   +ecxad 10154  PsMetcpsmet 14847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-map 6917  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-psmet 14855

This theorem is referenced by:  blfvalps  15412