ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetdmdm Unicode version

Theorem psmetdmdm 12507
Description: Recover the base set from a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetdmdm  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )

Proof of Theorem psmetdmdm
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-psmet 12170 . . . . . 6  |- PsMet  =  ( x  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  |  A. y  e.  x  (
( y d y )  =  0  /\ 
A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( (
w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
21mptrcl 5503 . . . . 5  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
3 ispsmet 12506 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  ( (
x D x )  =  0  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
43biimpa 294 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D  e.  (PsMet `  X
) )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  (
( x D x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
52, 4mpancom 418 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  (
( x D x )  =  0  /\ 
A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
65simpld 111 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
7 fdm 5278 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
87dmeqd 4741 . . 3  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
dom  D  =  dom  ( X  X.  X
) )
96, 8syl 14 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  dom  dom  D  =  dom  ( X  X.  X ) )
10 dmxpid 4760 . 2  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
119, 10syl6req 2189 1  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   dom cdm 4539   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    ^m cmap 6542   0cc0 7632   RR*cxr 7811    <_ cle 7813   +ecxad 9569  PsMetcpsmet 12162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-psmet 12170
This theorem is referenced by:  blfvalps  12568
  Copyright terms: Public domain W3C validator