Theorem reldmtpos 6158

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	|- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4063	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	eldm 4744	. . . 4 |- ( (/) e. dom F <-> E. y (/) F y )
3		vex 2692	. . . . . . 7 |- y e. _V
4		brtpos0 6157	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( (/)tpos F y <-> (/) F y ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y <-> (/) F y )
6		0nelxp 4575	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
7		df-rel 4554	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom tpos F <-> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8		ssel 3096	. . . . . . . . 9 |- ( dom tpos F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
9	7, 8	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom tpos F -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
10	6, 9	mtoi 654	. . . . . . 7 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom tpos F )
11	1, 3	breldm 4751	. . . . . . 7 |- ( (/)tpos F y -> (/) e. dom tpos F )
12	10, 11	nsyl3 616	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y -> -. Rel dom tpos F )
13	5, 12	sylbir 134	. . . . 5 |- ( (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
14	13	exlimiv 1578	. . . 4 |- ( E. y (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
15	2, 14	sylbi 120	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> -. Rel dom tpos F )
16	15	con2i 617	. 2 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom F )
17		vex 2692	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm 4744	. . . . 5 |- ( x e. dom tpos F <-> E. y xtpos F y )
19		relcnv 4925	. . . . . . . . . . 11 |- Rel `' dom F
20		df-rel 4554	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
21	19, 20	mpbi 144	. . . . . . . . . 10 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
22	21	sseli 3098	. . . . . . . . 9 |- ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
24		elsni 3550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
25	24	breq1d 3947	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y <-> (/)tpos F y ) )
26	1, 3	breldm 4751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) F y -> (/) e. dom F )
27	26	pm2.24d 612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
28	5, 27	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/)tpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
29	25, 28	syl6bi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
31	30	impcom 124	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) )
32		brtpos2 6156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) ) )
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) )
34	33	simplbi 272	. . . . . . . . . 10 |- ( xtpos F y -> x e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
35		elun 3222	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
36	34, 35	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
38	23, 31, 37	mpjaod 708	. . . . . . 7 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> x e. ( _V X. _V ) )
39	38	ex 114	. . . . . 6 |- ( -. (/) e. dom F -> ( xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
40	39	exlimdv 1792	. . . . 5 |- ( -. (/) e. dom F -> ( E. y xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
41	18, 40	syl5bi 151	. . . 4 |- ( -. (/) e. dom F -> ( x e. dom tpos F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
42	41	ssrdv 3108	. . 3 |- ( -. (/) e. dom F -> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
43	42, 7	sylibr 133	. 2 |- ( -. (/) e. dom F -> Rel dom tpos F )
44	16, 43	impbii 125	1 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   Rel wrel 4552  tpos ctpos 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-tpos 6150

This theorem is referenced by:  dmtpos  6161