Theorem reldmtpos 6221

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	|- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4109	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	eldm 4801	. . . 4 |- ( (/) e. dom F <-> E. y (/) F y )
3		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
4		brtpos0 6220	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( (/)tpos F y <-> (/) F y ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y <-> (/) F y )
6		0nelxp 4632	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
7		df-rel 4611	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom tpos F <-> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8		ssel 3136	. . . . . . . . 9 |- ( dom tpos F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
9	7, 8	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom tpos F -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
10	6, 9	mtoi 654	. . . . . . 7 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom tpos F )
11	1, 3	breldm 4808	. . . . . . 7 |- ( (/)tpos F y -> (/) e. dom tpos F )
12	10, 11	nsyl3 616	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y -> -. Rel dom tpos F )
13	5, 12	sylbir 134	. . . . 5 |- ( (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
14	13	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. y (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
15	2, 14	sylbi 120	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> -. Rel dom tpos F )
16	15	con2i 617	. 2 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom F )
17		vex 2729	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm 4801	. . . . 5 |- ( x e. dom tpos F <-> E. y xtpos F y )
19		relcnv 4982	. . . . . . . . . . 11 |- Rel `' dom F
20		df-rel 4611	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
21	19, 20	mpbi 144	. . . . . . . . . 10 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
22	21	sseli 3138	. . . . . . . . 9 |- ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
24		elsni 3594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
25	24	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y <-> (/)tpos F y ) )
26	1, 3	breldm 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) F y -> (/) e. dom F )
27	26	pm2.24d 612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
28	5, 27	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/)tpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
29	25, 28	syl6bi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
31	30	impcom 124	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) )
32		brtpos2 6219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) ) )
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) )
34	33	simplbi 272	. . . . . . . . . 10 |- ( xtpos F y -> x e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
35		elun 3263	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
36	34, 35	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
38	23, 31, 37	mpjaod 708	. . . . . . 7 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> x e. ( _V X. _V ) )
39	38	ex 114	. . . . . 6 |- ( -. (/) e. dom F -> ( xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
40	39	exlimdv 1807	. . . . 5 |- ( -. (/) e. dom F -> ( E. y xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
41	18, 40	syl5bi 151	. . . 4 |- ( -. (/) e. dom F -> ( x e. dom tpos F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
42	41	ssrdv 3148	. . 3 |- ( -. (/) e. dom F -> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
43	42, 7	sylibr 133	. 2 |- ( -. (/) e. dom F -> Rel dom tpos F )
44	16, 43	impbii 125	1 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   Rel wrel 4609  tpos ctpos 6212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-tpos 6213

This theorem is referenced by:  dmtpos  6224