Theorem reldmtpos 6273

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	|- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4145	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	eldm 4839	. . . 4 |- ( (/) e. dom F <-> E. y (/) F y )
3		vex 2755	. . . . . . 7 |- y e. _V
4		brtpos0 6272	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( (/)tpos F y <-> (/) F y ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y <-> (/) F y )
6		0nelxp 4669	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
7		df-rel 4648	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom tpos F <-> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8		ssel 3164	. . . . . . . . 9 |- ( dom tpos F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
9	7, 8	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom tpos F -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
10	6, 9	mtoi 665	. . . . . . 7 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom tpos F )
11	1, 3	breldm 4846	. . . . . . 7 |- ( (/)tpos F y -> (/) e. dom tpos F )
12	10, 11	nsyl3 627	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y -> -. Rel dom tpos F )
13	5, 12	sylbir 135	. . . . 5 |- ( (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
14	13	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. y (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
15	2, 14	sylbi 121	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> -. Rel dom tpos F )
16	15	con2i 628	. 2 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom F )
17		vex 2755	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm 4839	. . . . 5 |- ( x e. dom tpos F <-> E. y xtpos F y )
19		relcnv 5021	. . . . . . . . . . 11 |- Rel `' dom F
20		df-rel 4648	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
21	19, 20	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
22	21	sseli 3166	. . . . . . . . 9 |- ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
24		elsni 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
25	24	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y <-> (/)tpos F y ) )
26	1, 3	breldm 4846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) F y -> (/) e. dom F )
27	26	pm2.24d 623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
28	5, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/)tpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
29	25, 28	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
31	30	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) )
32		brtpos2 6271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) ) )
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) )
34	33	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 |- ( xtpos F y -> x e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
35		elun 3291	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
38	23, 31, 37	mpjaod 719	. . . . . . 7 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> x e. ( _V X. _V ) )
39	38	ex 115	. . . . . 6 |- ( -. (/) e. dom F -> ( xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
40	39	exlimdv 1830	. . . . 5 |- ( -. (/) e. dom F -> ( E. y xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
41	18, 40	biimtrid 152	. . . 4 |- ( -. (/) e. dom F -> ( x e. dom tpos F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
42	41	ssrdv 3176	. . 3 |- ( -. (/) e. dom F -> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
43	42, 7	sylibr 134	. 2 |- ( -. (/) e. dom F -> Rel dom tpos F )
44	16, 43	impbii 126	1 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   u. cun 3142   C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   X. cxp 4639   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   Rel wrel 4646  tpos ctpos 6264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-tpos 6265

This theorem is referenced by:  dmtpos  6276