Theorem reldmtpos 6362

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	|- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4187	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	eldm 4894	. . . 4 |- ( (/) e. dom F <-> E. y (/) F y )
3		vex 2779	. . . . . . 7 |- y e. _V
4		brtpos0 6361	. . . . . . 7 |- ( y e. _V -> ( (/)tpos F y <-> (/) F y ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y <-> (/) F y )
6		0nelxp 4721	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
7		df-rel 4700	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom tpos F <-> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8		ssel 3195	. . . . . . . . 9 |- ( dom tpos F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
9	7, 8	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom tpos F -> ( (/) e. dom tpos F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
10	6, 9	mtoi 666	. . . . . . 7 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom tpos F )
11	1, 3	breldm 4901	. . . . . . 7 |- ( (/)tpos F y -> (/) e. dom tpos F )
12	10, 11	nsyl3 627	. . . . . 6 |- ( (/)tpos F y -> -. Rel dom tpos F )
13	5, 12	sylbir 135	. . . . 5 |- ( (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
14	13	exlimiv 1622	. . . 4 |- ( E. y (/) F y -> -. Rel dom tpos F )
15	2, 14	sylbi 121	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> -. Rel dom tpos F )
16	15	con2i 628	. 2 |- ( Rel dom tpos F -> -. (/) e. dom F )
17		vex 2779	. . . . . 6 |- x e. _V
18	17	eldm 4894	. . . . 5 |- ( x e. dom tpos F <-> E. y xtpos F y )
19		relcnv 5079	. . . . . . . . . . 11 |- Rel `' dom F
20		df-rel 4700	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
21	19, 20	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
22	21	sseli 3197	. . . . . . . . 9 |- ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
24		elsni 3661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
25	24	breq1d 4069	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y <-> (/)tpos F y ) )
26	1, 3	breldm 4901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) F y -> (/) e. dom F )
27	26	pm2.24d 623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
28	5, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/)tpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
29	25, 28	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( -. (/) e. dom F -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) ) )
31	30	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. { (/) } -> x e. ( _V X. _V ) ) )
32		brtpos2 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) ) )
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( xtpos F y <-> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { x } F y ) )
34	33	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 |- ( xtpos F y -> x e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
35		elun 3322	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) <-> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( xtpos F y -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> ( x e. `' dom F \/ x e. { (/) } ) )
38	23, 31, 37	mpjaod 720	. . . . . . 7 |- ( ( -. (/) e. dom F /\ xtpos F y ) -> x e. ( _V X. _V ) )
39	38	ex 115	. . . . . 6 |- ( -. (/) e. dom F -> ( xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
40	39	exlimdv 1843	. . . . 5 |- ( -. (/) e. dom F -> ( E. y xtpos F y -> x e. ( _V X. _V ) ) )
41	18, 40	biimtrid 152	. . . 4 |- ( -. (/) e. dom F -> ( x e. dom tpos F -> x e. ( _V X. _V ) ) )
42	41	ssrdv 3207	. . 3 |- ( -. (/) e. dom F -> dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
43	42, 7	sylibr 134	. 2 |- ( -. (/) e. dom F -> Rel dom tpos F )
44	16, 43	impbii 126	1 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   Rel wrel 4698  tpos ctpos 6353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-tpos 6354

This theorem is referenced by:  dmtpos  6365