Theorem fnres 5440

Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5346. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnres	|- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem fnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 |- ( ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
2		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 5011	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x F y /\ x e. A ) )
4		ancom 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ x F y ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x e. A /\ x F y ) )
6	5	mobii 2114	. . . . . . 7 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> E* y ( x e. A /\ x F y ) )
7		moanimv 2153	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. A /\ x F y ) <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
9	8	albii 1516	. . . . 5 |- ( A. x E* y x ( F |` A ) y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
10		relres 5033	. . . . . 6 |- Rel ( F |` A )
11		dffun6 5332	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( Rel ( F |` A ) /\ A. x E* y x ( F |` A ) y ) )
12	10, 11	mpbiran 946	. . . . 5 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x E* y x ( F |` A ) y )
13		df-ral 2513	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y x F y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x e. A E* y x F y )
15		dmres 5026	. . . . . . 7 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
16		inss1 3424	. . . . . . 7 |- ( A i^i dom F ) C_ A
17	15, 16	eqsstri 3256	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) C_ A
18		eqss 3239	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> ( dom ( F |` A ) C_ A /\ A C_ dom ( F |` A ) ) )
19	17, 18	mpbiran 946	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A C_ dom ( F |` A ) )
20		dfss3 3213	. . . . . 6 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A x e. dom ( F |` A ) )
21	15	elin2 3392	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom ( F |` A ) <-> ( x e. A /\ x e. dom F ) )
22	21	baib 924	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> x e. dom F ) )
23		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
24	23	eldm 4920	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
25	22, 24	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> E. y x F y ) )
26	25	ralbiia 2544	. . . . . 6 |- ( A. x e. A x e. dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
27	20, 26	bitri 184	. . . . 5 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
28	19, 27	bitri 184	. . . 4 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A. x e. A E. y x F y )
29	14, 28	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) )
30		r19.26 2657	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
31	1, 29, 30	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
32		df-fn 5321	. 2 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) )
33		eu5 2125	. . 3 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
34	33	ralbii 2536	. 2 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
35	31, 32, 34	3bitr4i 212	1 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E!weu 2077   E*wmo 2078   e. wcel 2200   A.wral 2508   i^i cin 3196   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   |` cres 4721   Rel wrel 4724   Fun wfun 5312   Fn wfn 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-res 4731  df-fun 5320  df-fn 5321

This theorem is referenced by:  f1ompt  5786