Theorem fnres 5304

Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5216. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnres	|- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem fnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 264	. . 3 |- ( ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
2		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4890	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x F y /\ x e. A ) )
4		ancom 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ x F y ) )
5	3, 4	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x e. A /\ x F y ) )
6	5	mobii 2051	. . . . . . 7 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> E* y ( x e. A /\ x F y ) )
7		moanimv 2089	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. A /\ x F y ) <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
9	8	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. x E* y x ( F |` A ) y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
10		relres 4912	. . . . . 6 |- Rel ( F |` A )
11		dffun6 5202	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( Rel ( F |` A ) /\ A. x E* y x ( F |` A ) y ) )
12	10, 11	mpbiran 930	. . . . 5 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x E* y x ( F |` A ) y )
13		df-ral 2449	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y x F y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x e. A E* y x F y )
15		dmres 4905	. . . . . . 7 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
16		inss1 3342	. . . . . . 7 |- ( A i^i dom F ) C_ A
17	15, 16	eqsstri 3174	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) C_ A
18		eqss 3157	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> ( dom ( F |` A ) C_ A /\ A C_ dom ( F |` A ) ) )
19	17, 18	mpbiran 930	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A C_ dom ( F |` A ) )
20		dfss3 3132	. . . . . 6 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A x e. dom ( F |` A ) )
21	15	elin2 3310	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom ( F |` A ) <-> ( x e. A /\ x e. dom F ) )
22	21	baib 909	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> x e. dom F ) )
23		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
24	23	eldm 4801	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
25	22, 24	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> E. y x F y ) )
26	25	ralbiia 2480	. . . . . 6 |- ( A. x e. A x e. dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
27	20, 26	bitri 183	. . . . 5 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
28	19, 27	bitri 183	. . . 4 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A. x e. A E. y x F y )
29	14, 28	anbi12i 456	. . 3 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) )
30		r19.26 2592	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
31	1, 29, 30	3bitr4i 211	. 2 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
32		df-fn 5191	. 2 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) )
33		eu5 2061	. . 3 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
34	33	ralbii 2472	. 2 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
35	31, 32, 34	3bitr4i 211	1 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   E!weu 2014   E*wmo 2015   e. wcel 2136   A.wral 2444   i^i cin 3115   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   |` cres 4606   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-fun 5190  df-fn 5191

This theorem is referenced by:  f1ompt  5636