Theorem fnres 5333

Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5245. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnres	|- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem fnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . 3 |- ( ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
2		vex 2741	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4914	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x F y /\ x e. A ) )
4		ancom 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ x F y ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x e. A /\ x F y ) )
6	5	mobii 2063	. . . . . . 7 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> E* y ( x e. A /\ x F y ) )
7		moanimv 2101	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. A /\ x F y ) <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
9	8	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. x E* y x ( F |` A ) y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
10		relres 4936	. . . . . 6 |- Rel ( F |` A )
11		dffun6 5231	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( Rel ( F |` A ) /\ A. x E* y x ( F |` A ) y ) )
12	10, 11	mpbiran 940	. . . . 5 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x E* y x ( F |` A ) y )
13		df-ral 2460	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y x F y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x e. A E* y x F y )
15		dmres 4929	. . . . . . 7 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
16		inss1 3356	. . . . . . 7 |- ( A i^i dom F ) C_ A
17	15, 16	eqsstri 3188	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) C_ A
18		eqss 3171	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> ( dom ( F |` A ) C_ A /\ A C_ dom ( F |` A ) ) )
19	17, 18	mpbiran 940	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A C_ dom ( F |` A ) )
20		dfss3 3146	. . . . . 6 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A x e. dom ( F |` A ) )
21	15	elin2 3324	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom ( F |` A ) <-> ( x e. A /\ x e. dom F ) )
22	21	baib 919	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> x e. dom F ) )
23		vex 2741	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
24	23	eldm 4825	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
25	22, 24	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> E. y x F y ) )
26	25	ralbiia 2491	. . . . . 6 |- ( A. x e. A x e. dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
27	20, 26	bitri 184	. . . . 5 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
28	19, 27	bitri 184	. . . 4 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A. x e. A E. y x F y )
29	14, 28	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) )
30		r19.26 2603	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
31	1, 29, 30	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
32		df-fn 5220	. 2 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) )
33		eu5 2073	. . 3 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
34	33	ralbii 2483	. 2 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
35	31, 32, 34	3bitr4i 212	1 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   E!weu 2026   E*wmo 2027   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3129   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   dom cdm 4627   |` cres 4629   Rel wrel 4632   Fun wfun 5211   Fn wfn 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-res 4639  df-fun 5219  df-fn 5220

This theorem is referenced by:  f1ompt  5668