Theorem xmetec 15111

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmetec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 |- .~ = ( `' D " RR )
2	1	xmeterval 15109	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P .~ x <-> ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
3		3anass 1006	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) <-> ( P e. X /\ ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
4	3	baib 924	. . . 4 |- ( P e. X -> ( ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
5	2, 4	sylan9bb 462	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P .~ x <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
6		vex 2802	. . . . 5 |- x e. _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> x e. _V )
8		elecg 6720	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> P .~ x ) )
9	7, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> P .~ x ) )
10		xblpnf 15073	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
11	5, 9, 10	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
12	11	eqrdv 2227	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   "cima 4722   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   [cec 6678   RRcr 7998   +oocpnf 8178   *Metcxmet 14500   ballcbl 14502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-ec 6682  df-map 6797  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-2 9169  df-xadd 9969  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-bl 14510

This theorem is referenced by:  blssec  15112  blpnfctr  15113