ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetec Unicode version

Theorem xmetec 13604
Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1  |-  .~  =  ( `' D " RR )
Assertion
Ref Expression
xmetec  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  [ P ]  .~  =  ( P ( ball `  D
) +oo ) )

Proof of Theorem xmetec
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5  |-  .~  =  ( `' D " RR )
21xmeterval 13602 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( P  .~  x  <->  ( P  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
3 3anass 982 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR )  <->  ( P  e.  X  /\  (
x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
43baib 919 . . . 4  |-  ( P  e.  X  ->  (
( P  e.  X  /\  x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
52, 4sylan9bb 462 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P  .~  x  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
6 vex 2740 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
76a1i 9 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  x  e.  _V )
8 elecg 6567 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  P  e.  X )  ->  ( x  e.  [ P ]  .~  <->  P  .~  x ) )
97, 8sylan 283 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( x  e.  [ P ]  .~  <->  P  .~  x ) )
10 xblpnf 13566 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) +oo )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  e.  RR ) ) )
115, 9, 103bitr4d 220 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( x  e.  [ P ]  .~  <->  x  e.  ( P (
ball `  D ) +oo ) ) )
1211eqrdv 2175 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  [ P ]  .~  =  ( P ( ball `  D
) +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622   "cima 4626   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   [cec 6527   RRcr 7801   +oocpnf 7979   *Metcxmet 13147   ballcbl 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-ec 6531  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-2 8967  df-xadd 9760  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-bl 13157
This theorem is referenced by:  blssec  13605  blpnfctr  13606
  Copyright terms: Public domain W3C validator