Theorem xmetec 14673

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmetec	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 |- .~ = ( `' D " RR )
2	1	xmeterval 14671	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P .~ x <-> ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
3		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) <-> ( P e. X /\ ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
4	3	baib 920	. . . 4 |- ( P e. X -> ( ( P e. X /\ x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
5	2, 4	sylan9bb 462	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P .~ x <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
6		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> x e. _V )
8		elecg 6632	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> P .~ x ) )
9	7, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> P .~ x ) )
10		xblpnf 14635	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) e. RR ) ) )
11	5, 9, 10	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( x e. [ P ] .~ <-> x e. ( P ( ball ` D ) +oo ) ) )
12	11	eqrdv 2194	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> [ P ] .~ = ( P ( ball ` D ) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   `'ccnv 4662   "cima 4666   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   [cec 6590   RRcr 7878   +oocpnf 8058   *Metcxmet 14092   ballcbl 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-ec 6594  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-2 9049  df-xadd 9848  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-bl 14102

This theorem is referenced by:  blssec  14674  blpnfctr  14675