Theorem elecg 6785

Description: Membership in an equivalence class. Theorem 72 of [Suppes] p. 82. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elecg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ [𝐵]𝑅 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem elecg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng 5111	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
2	1	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
3		df-ec 6747	. . 3 ⊢ [𝐵]𝑅 = (𝑅 “ {𝐵})
4	3	eleq2i 2298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ [𝐵]𝑅 ↔ 𝐴 ∈ (𝑅 “ {𝐵}))
5		df-br 4094	. 2 ⊢ (𝐵𝑅𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
6	2, 4, 5	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ [𝐵]𝑅 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  {csn 3673  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093   “ cima 4734  [cec 6743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-ec 6747

This theorem is referenced by:  elec  6786  relelec  6787  ecdmn0m  6789  erth  6791  ecidg  6811  qsel  6824  xmetec  15231  blpnfctr  15233  xmetresbl  15234