Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetresbl Unicode version

Theorem xmetresbl 12668
 Description: An extended metric restricted to any ball (in particular the infinity ball) is a proper metric. Together with xmetec 12665, this shows that any extended metric space can be "factored" into the disjoint union of proper metric spaces, with points in the same region measured by that region's metric, and points in different regions being distance from each other. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmetresbl.1
Assertion
Ref Expression
xmetresbl

Proof of Theorem xmetresbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . 3
2 xmetresbl.1 . . . 4
3 blssm 12649 . . . 4
42, 3eqsstrid 3149 . . 3
5 xmetres2 12607 . . 3
61, 4, 5syl2anc 409 . 2
7 xmetf 12578 . . . . . 6
81, 7syl 14 . . . . 5
9 xpss12 4655 . . . . . 6
104, 4, 9syl2anc 409 . . . . 5
118, 10fssresd 5308 . . . 4
1211ffnd 5282 . . 3
13 ovres 5919 . . . . . 6
1413adantl 275 . . . . 5
15 simpl1 985 . . . . . . . . 9
16 eqid 2140 . . . . . . . . . 10
1716xmeter 12664 . . . . . . . . 9
1815, 17syl 14 . . . . . . . 8
1916blssec 12666 . . . . . . . . . . . 12
202, 19eqsstrid 3149 . . . . . . . . . . 11
2120sselda 3103 . . . . . . . . . 10
2221adantrr 471 . . . . . . . . 9
23 simpl2 986 . . . . . . . . . 10
24 elecg 6476 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . . 9
2622, 25mpbid 146 . . . . . . . 8
2720sselda 3103 . . . . . . . . . 10
2827adantrl 470 . . . . . . . . 9
29 elecg 6476 . . . . . . . . . 10
3028, 23, 29syl2anc 409 . . . . . . . . 9
3128, 30mpbid 146 . . . . . . . 8
3218, 26, 31ertr3d 6456 . . . . . . 7
3316xmeterval 12663 . . . . . . . 8
3415, 33syl 14 . . . . . . 7
3532, 34mpbid 146 . . . . . 6
3635simp3d 996 . . . . 5
3714, 36eqeltrd 2217 . . . 4
3837ralrimivva 2518 . . 3
39 ffnov 5884 . . 3
4012, 38, 39sylanbrc 414 . 2
41 ismet2 12582 . 2
426, 40, 41sylanbrc 414 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417   wss 3077   class class class wbr 3938   cxp 4546  ccnv 4547   cres 4550  cima 4551   wfn 5127  wf 5128  cfv 5132  (class class class)co 5783   wer 6435  cec 6436  cr 7663  cxr 7843  cxmet 12208  cmet 12209  cbl 12210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-er 6438  df-ec 6440  df-map 6553  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-2 8823  df-xneg 9609  df-xadd 9610  df-psmet 12215  df-xmet 12216  df-met 12217  df-bl 12218 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator