Theorem rniun 5154

Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rniun	|- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Proof of Theorem rniun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2827	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y <. y , z >. e. B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2806	. . . . . 6 |- z e. _V
3	2	elrn2 4980	. . . . 5 |- ( z e. ran B <-> E. y <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2540	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ran B <-> E. x e. A E. y <. y , z >. e. B )
5		eliun 3979	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. ran B )
8	2	elrn2 4980	. . 3 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3979	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ran B <-> E. x e. A z e. ran B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 212	. 2 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> z e. U_ x e. A ran B )
11	10	eqriv 2228	1 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Syntax hints:   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   <.cop 3676   U_ciun 3975   ran crn 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742

This theorem is referenced by:  rnuni  5155  fun11iun  5613  ennnfonelemrn  13103