Theorem rniun 4949

Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rniun	|- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Proof of Theorem rniun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2709	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y <. y , z >. e. B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2689	. . . . . 6 |- z e. _V
3	2	elrn2 4781	. . . . 5 |- ( z e. ran B <-> E. y <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2442	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ran B <-> E. x e. A E. y <. y , z >. e. B )
5		eliun 3817	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. ran B )
8	2	elrn2 4781	. . 3 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3817	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ran B <-> E. x e. A z e. ran B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> z e. U_ x e. A ran B )
11	10	eqriv 2136	1 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Syntax hints:   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   U_ciun 3813   ran crn 4540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550

This theorem is referenced by:  rnuni  4950  fun11iun  5388  ennnfonelemrn  11932