Theorem rniun 5014

Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rniun	|- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Proof of Theorem rniun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2749	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y <. y , z >. e. B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2729	. . . . . 6 |- z e. _V
3	2	elrn2 4846	. . . . 5 |- ( z e. ran B <-> E. y <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ran B <-> E. x e. A E. y <. y , z >. e. B )
5		eliun 3870	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. ran B )
8	2	elrn2 4846	. . 3 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3870	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ran B <-> E. x e. A z e. ran B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> z e. U_ x e. A ran B )
11	10	eqriv 2162	1 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Syntax hints:   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   U_ciun 3866   ran crn 4605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615

This theorem is referenced by:  rnuni  5015  fun11iun  5453  ennnfonelemrn  12352