Theorem rniun 4855

Description: The range of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rniun	|- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Proof of Theorem rniun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2643	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y <. y , z >. e. B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
2		vex 2623	. . . . . 6 |- z e. _V
3	2	elrn2 4690	. . . . 5 |- ( z e. ran B <-> E. y <. y , z >. e. B )
4	3	rexbii 2386	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ran B <-> E. x e. A E. y <. y , z >. e. B )
5		eliun 3740	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. y , z >. e. B )
6	5	exbii 1542	. . . 4 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. y E. x e. A <. y , z >. e. B )
7	1, 4, 6	3bitr4ri 212	. . 3 |- ( E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. ran B )
8	2	elrn2 4690	. . 3 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> E. y <. y , z >. e. U_ x e. A B )
9		eliun 3740	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ran B <-> E. x e. A z e. ran B )
10	7, 8, 9	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ran U_ x e. A B <-> z e. U_ x e. A ran B )
11	10	eqriv 2086	1 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B

Syntax hints:   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   E.wrex 2361   <.cop 3453   U_ciun 3736   ran crn 4453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-cnv 4460  df-dm 4462  df-rn 4463

This theorem is referenced by:  rnuni  4856  fun11iun  5287