Theorem eltop3 12442

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop3	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> E. x ( x C_ J /\ A = U. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, J

Proof of Theorem eltop3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 12439	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2227	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg3 12428	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> E. x ( x C_ J /\ A = U. x ) ) )
4	2, 3	bitr3d 189	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> E. x ( x C_ J /\ A = U. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   C_ wss 3102   U.cuni 3772   ` cfv 5169   topGenctg 12337   Topctop 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-topgen 12343  df-top 12367

This theorem is referenced by: (None)