Theorem eltg3 12851

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12600	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5237	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5215	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5528	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 422	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		inex1g 4125	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
9		eltg4i 12849	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss1 3347	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P A ) C_ B
11		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( x C_ B <-> ( B i^i ~P A ) C_ B ) )
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> x C_ B )
13	12	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
14		unieq 3805	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> U. x = U. ( B i^i ~P A ) )
15	14	eqeq2d 2182	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
16	13, 15	bitr3d 189	. . . 4 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
17	16	spcegv 2818	. . 3 |- ( ( B i^i ~P A ) e. _V -> ( A = U. ( B i^i ~P A ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) )
19		eltg3i 12850	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> U. x e. ( topGen ` B ) )
20		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( A = U. x -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> U. x e. ( topGen ` B ) ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> ( A = U. x -> A e. ( topGen ` B ) ) )
22	21	expimpd 361	. . 3 |- ( B e. V -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	exlimdv 1812	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
24	18, 23	impbid2 142	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   dom cdm 4611   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   ` cfv 5198   topGenctg 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600

This theorem is referenced by:  tgval3  12852  tgtop  12862  eltop3  12865  tgidm  12868  bastop1  12877  tgrest  12963  tgcn  13002  txbasval  13061