ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg3 Unicode version

Theorem eltg3 13560
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
eltg3  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  E. x
( x  C_  B  /\  A  =  U. x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, V

Proof of Theorem eltg3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12709 . . . . . . 7  |-  topGen  =  ( x  e.  _V  |->  { y  |  y  C_  U. ( x  i^i  ~P y ) } )
21funmpt2 5256 . . . . . 6  |-  Fun  topGen
3 funrel 5234 . . . . . 6  |-  ( Fun  topGen  ->  Rel  topGen )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  Rel  topGen
5 relelfvdm 5548 . . . . 5  |-  ( ( Rel  topGen  /\  A  e.  ( topGen `  B )
)  ->  B  e.  dom  topGen )
64, 5mpan 424 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
7 inex1g 4140 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( B  i^i  ~P A )  e.  _V )
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( B  i^i  ~P A )  e. 
_V )
9 eltg4i 13558 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )
10 inss1 3356 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ~P A ) 
C_  B
11 sseq1 3179 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( B  i^i  ~P A )  ->  (
x  C_  B  <->  ( B  i^i  ~P A )  C_  B ) )
1210, 11mpbiri 168 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( B  i^i  ~P A )  ->  x  C_  B )
1312biantrurd 305 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B  i^i  ~P A )  ->  ( A  =  U. x  <->  ( x  C_  B  /\  A  =  U. x
) ) )
14 unieq 3819 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( B  i^i  ~P A )  ->  U. x  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )
1514eqeq2d 2189 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B  i^i  ~P A )  ->  ( A  =  U. x  <->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
1613, 15bitr3d 190 . . . 4  |-  ( x  =  ( B  i^i  ~P A )  ->  (
( x  C_  B  /\  A  =  U. x )  <->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
1716spcegv 2826 . . 3  |-  ( ( B  i^i  ~P A
)  e.  _V  ->  ( A  =  U. ( B  i^i  ~P A )  ->  E. x ( x 
C_  B  /\  A  =  U. x ) ) )
188, 9, 17sylc 62 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  E. x
( x  C_  B  /\  A  =  U. x ) )
19 eltg3i 13559 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  C_  B )  ->  U. x  e.  ( topGen `
 B ) )
20 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( A  =  U. x  -> 
( A  e.  (
topGen `  B )  <->  U. x  e.  ( topGen `  B )
) )
2119, 20syl5ibrcom 157 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  C_  B )  -> 
( A  =  U. x  ->  A  e.  (
topGen `  B ) ) )
2221expimpd 363 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
( x  C_  B  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  ( topGen `  B )
) )
2322exlimdv 1819 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. x ( x  C_  B  /\  A  =  U. x )  ->  A  e.  ( topGen `  B )
) )
2418, 23impbid2 143 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  E. x
( x  C_  B  /\  A  =  U. x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2738    i^i cin 3129    C_ wss 3130   ~Pcpw 3576   U.cuni 3810   dom cdm 4627   Rel wrel 4632   Fun wfun 5211   ` cfv 5217   topGenctg 12703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-topgen 12709
This theorem is referenced by:  tgval3  13561  tgtop  13571  eltop3  13574  tgidm  13577  bastop1  13586  tgrest  13672  tgcn  13711  txbasval  13770
  Copyright terms: Public domain W3C validator