Theorem eltg3 14725

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13288	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5356	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5334	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5658	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		inex1g 4219	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
9		eltg4i 14723	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss1 3424	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P A ) C_ B
11		sseq1 3247	. . . . . . 7 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( x C_ B <-> ( B i^i ~P A ) C_ B ) )
12	10, 11	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> x C_ B )
13	12	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
14		unieq 3896	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> U. x = U. ( B i^i ~P A ) )
15	14	eqeq2d 2241	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
16	13, 15	bitr3d 190	. . . 4 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
17	16	spcegv 2891	. . 3 |- ( ( B i^i ~P A ) e. _V -> ( A = U. ( B i^i ~P A ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) )
19		eltg3i 14724	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> U. x e. ( topGen ` B ) )
20		eleq1 2292	. . . . 5 |- ( A = U. x -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> U. x e. ( topGen ` B ) ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> ( A = U. x -> A e. ( topGen ` B ) ) )
22	21	expimpd 363	. . 3 |- ( B e. V -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	exlimdv 1865	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
24	18, 23	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   U.cuni 3887   dom cdm 4718   Rel wrel 4723   Fun wfun 5311   ` cfv 5317   topGenctg 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-topgen 13288

This theorem is referenced by:  tgval3  14726  tgtop  14736  eltop3  14739  tgidm  14742  bastop1  14751  tgrest  14837  tgcn  14876  txbasval  14935