Theorem eltg3 12697

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12577	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5227	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5205	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5518	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		inex1g 4118	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
9		eltg4i 12695	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss1 3342	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P A ) C_ B
11		sseq1 3165	. . . . . . 7 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( x C_ B <-> ( B i^i ~P A ) C_ B ) )
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> x C_ B )
13	12	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
14		unieq 3798	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> U. x = U. ( B i^i ~P A ) )
15	14	eqeq2d 2177	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
16	13, 15	bitr3d 189	. . . 4 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
17	16	spcegv 2814	. . 3 |- ( ( B i^i ~P A ) e. _V -> ( A = U. ( B i^i ~P A ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) )
19		eltg3i 12696	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> U. x e. ( topGen ` B ) )
20		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( A = U. x -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> U. x e. ( topGen ` B ) ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> ( A = U. x -> A e. ( topGen ` B ) ) )
22	21	expimpd 361	. . 3 |- ( B e. V -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	exlimdv 1807	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
24	18, 23	impbid2 142	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182   ` cfv 5188   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  tgval3  12698  tgtop  12708  eltop3  12711  tgidm  12714  bastop1  12723  tgrest  12809  tgcn  12848  txbasval  12907