Theorem eltg3 12598

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12513	. . . . . . 7 |- topGen = ( x e. _V |-> { y | y C_ U. ( x i^i ~P y ) } )
2	1	funmpt2 5221	. . . . . 6 |- Fun topGen
3		funrel 5199	. . . . . 6 |- ( Fun topGen -> Rel topGen )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel topGen
5		relelfvdm 5512	. . . . 5 |- ( ( Rel topGen /\ A e. ( topGen ` B ) ) -> B e. dom topGen )
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> B e. dom topGen )
7		inex1g 4112	. . . 4 |- ( B e. dom topGen -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> ( B i^i ~P A ) e. _V )
9		eltg4i 12596	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> A = U. ( B i^i ~P A ) )
10		inss1 3337	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P A ) C_ B
11		sseq1 3160	. . . . . . 7 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( x C_ B <-> ( B i^i ~P A ) C_ B ) )
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> x C_ B )
13	12	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
14		unieq 3792	. . . . . 6 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> U. x = U. ( B i^i ~P A ) )
15	14	eqeq2d 2176	. . . . 5 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( A = U. x <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
16	13, 15	bitr3d 189	. . . 4 |- ( x = ( B i^i ~P A ) -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) <-> A = U. ( B i^i ~P A ) ) )
17	16	spcegv 2809	. . 3 |- ( ( B i^i ~P A ) e. _V -> ( A = U. ( B i^i ~P A ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 |- ( A e. ( topGen ` B ) -> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) )
19		eltg3i 12597	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> U. x e. ( topGen ` B ) )
20		eleq1 2227	. . . . 5 |- ( A = U. x -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> U. x e. ( topGen ` B ) ) )
21	19, 20	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ x C_ B ) -> ( A = U. x -> A e. ( topGen ` B ) ) )
22	21	expimpd 361	. . 3 |- ( B e. V -> ( ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
23	22	exlimdv 1806	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) -> A e. ( topGen ` B ) ) )
24	18, 23	impbid2 142	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> E. x ( x C_ B /\ A = U. x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   {cab 2150   _Vcvv 2721   i^i cin 3110   C_ wss 3111   ~Pcpw 3553   U.cuni 3783   dom cdm 4598   Rel wrel 4603   Fun wfun 5176   ` cfv 5182   topGenctg 12507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-topgen 12513

This theorem is referenced by:  tgval3  12599  tgtop  12609  eltop3  12612  tgidm  12615  bastop1  12624  tgrest  12710  tgcn  12749  txbasval  12808