Theorem elxp2 4638

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2459	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) )
2		r19.42v 2632	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
3		an13 563	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	3	exbii 1603	. . . 4 |- ( E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	1, 2, 4	3bitr3i 210	. . 3 |- ( ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	5	exbii 1603	. 2 |- ( E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
7		df-rex 2459	. 2 |- ( E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. <-> E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
8		elxp 4637	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4ri 213	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   E.wrex 2454   <.cop 3592   X. cxp 4618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-opab 4060  df-xp 4626

This theorem is referenced by:  opelxp  4650  xpiundi  4678  xpiundir  4679  ssrel2  4710  f1o2ndf1  6219  xpdom2  6821  elreal  7802