Theorem elxp2 4622

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2450	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) )
2		r19.42v 2623	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
3		an13 553	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	3	exbii 1593	. . . 4 |- ( E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	1, 2, 4	3bitr3i 209	. . 3 |- ( ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	5	exbii 1593	. 2 |- ( E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
7		df-rex 2450	. 2 |- ( E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. <-> E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
8		elxp 4621	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4ri 212	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  opelxp  4634  xpiundi  4662  xpiundir  4663  ssrel2  4694  f1o2ndf1  6196  xpdom2  6797  elreal  7769