Theorem elxp2 4743

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2516	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) )
2		r19.42v 2690	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
3		an13 565	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	3	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	1, 2, 4	3bitr3i 210	. . 3 |- ( ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	5	exbii 1653	. 2 |- ( E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
7		df-rex 2516	. 2 |- ( E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. <-> E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
8		elxp 4742	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4ri 213	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   <.cop 3672   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  opelxp  4755  xpiundi  4784  xpiundir  4785  ssrel2  4816  f1o2ndf1  6393  xpdom2  7015  elreal  8048