ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxp2 Unicode version

Theorem elxp2 4429
Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elxp2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2361 . . . 4  |-  ( E. y  e.  C  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )  <->  E. y
( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )
) )
2 r19.42v 2520 . . . 4  |-  ( E. y  e.  C  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )  <->  ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
) )
3 an13 528 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )
)  <->  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
43exbii 1539 . . . 4  |-  ( E. y ( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y
>. ) )  <->  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
51, 2, 43bitr3i 208 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y
>. )  <->  E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
65exbii 1539 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
)  <->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
7 df-rex 2361 . 2  |-  ( E. x  e.  B  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y
>. ) )
8 elxp 4428 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
96, 7, 83bitr4ri 211 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   E.wrex 2356   <.cop 3434    X. cxp 4409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-opab 3875  df-xp 4417
This theorem is referenced by:  opelxp  4440  xpiundi  4464  xpiundir  4465  ssrel2  4496  f1o2ndf1  5950  xpdom2  6499  elreal  7310
  Copyright terms: Public domain W3C validator