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Theorem xpdom2 6499
Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xpdom.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpdom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )

Proof of Theorem xpdom2
Dummy variables  u  f  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6418 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 f1f 5179 . . . . . . . 8  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
3 ffvelrn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  U.
ran  { x }  e.  A )  ->  (
f `  U. ran  {
x } )  e.  B )
43ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( f : A --> B  -> 
( U. ran  {
x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  { x } )  e.  B ) )
52, 4syl 14 . . . . . . 7  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( U. ran  {
x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  { x } )  e.  B ) )
65anim2d 330 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( U. dom  { x }  e.  C  /\  U. ran  { x }  e.  A )  ->  ( U. dom  {
x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  { x } )  e.  B ) ) )
76adantld 272 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  = 
<. U. dom  { x } ,  U. ran  {
x } >.  /\  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  U. ran  { x }  e.  A
) )  ->  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  (
f `  U. ran  {
x } )  e.  B ) ) )
8 elxp4 4884 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  ( x  =  <. U. dom  { x } ,  U. ran  {
x } >.  /\  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  U. ran  { x }  e.  A
) ) )
9 opelxp 4440 . . . . 5  |-  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  e.  ( C  X.  B )  <->  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  { x }
)  e.  B ) )
107, 8, 93imtr4g 203 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
1110adantl 271 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
12 elxp2 4429 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >. )
13 elxp2 4429 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( C  X.  A )  <->  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )
14 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
15 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  f  e. 
_V
16 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
1715, 16fvex 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 w )  e. 
_V
1814, 17opth 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. 
<->  ( z  =  v  /\  ( f `  w )  =  ( f `  u ) ) )
19 f1fveq 5512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
( f `  w
)  =  ( f `
 u )  <->  w  =  u ) )
2019ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( f `  w )  =  ( f `  u )  <-> 
w  =  u ) )
2120anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( z  =  v  /\  ( f `
 w )  =  ( f `  u
) )  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2218, 21syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2322ex 113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2423ad2ant2l 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  C  /\  u  e.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2524imp 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2625adantlr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
27 sneq 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  { x }  =  { <. z ,  w >. } )
2827dmeqd 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  dom  { x }  =  dom  { <. z ,  w >. } )
2928unieqd 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. z ,  w >. } )
3014, 16op1sta 4878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
3129, 30syl6eq 2133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  { x }  =  z )
3227rneqd 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ran  { x }  =  ran  { <. z ,  w >. } )
3332unieqd 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  { x }  =  U. ran  { <. z ,  w >. } )
3414, 16op2nda 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
3533, 34syl6eq 2133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  { x }  =  w )
3635fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( f `  U. ran  { x }
)  =  ( f `
 w ) )
3731, 36opeq12d 3613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. z ,  ( f `  w ) >. )
38 sneq 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  { y }  =  { <. v ,  u >. } )
3938dmeqd 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  dom  { y }  =  dom  { <. v ,  u >. } )
4039unieqd 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  { y }  =  U. dom  {
<. v ,  u >. } )
41 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
_V
42 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  u  e. 
_V
4341, 42op1sta 4878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. dom  {
<. v ,  u >. }  =  v
4440, 43syl6eq 2133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  { y }  =  v )
4538rneqd 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ran  { y }  =  ran  { <. v ,  u >. } )
4645unieqd 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  { y }  =  U. ran  {
<. v ,  u >. } )
4741, 42op2nda 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ran  {
<. v ,  u >. }  =  u
4846, 47syl6eq 2133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  { y }  =  u )
4948fveq2d 5272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f `  U. ran  { y } )  =  ( f `
 u ) )
5044, 49opeq12d 3613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  <. U. dom  { y } ,  ( f `
 U. ran  {
y } ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. )
5137, 50eqeqan12d 2100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( <. U.
dom  { x } , 
( f `  U. ran  { x } )
>.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. ) )
5251ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<-> 
<. z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. ) )
53 eqeq12 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. ) )
5414, 16opth 4038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
5553, 54syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5655ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  =  y  <-> 
( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5726, 52, 563bitr4d 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) )
5857exp53 369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5958com23 77 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  (
( v  e.  C  /\  u  e.  A
)  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
6059rexlimivv 2490 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  -> 
( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) ) ) ) )
6160rexlimdvv 2491 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >.  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `
 U. ran  {
y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) )
6261imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  /\  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6312, 13, 62syl2anb 285 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( C  X.  A )  /\  y  e.  ( C  X.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `
 U. ran  {
y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6463com12 30 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) ) )
6564adantl 271 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) ) )
66 xpdom.2 . . . . 5  |-  C  e. 
_V
67 reldom 6414 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
6867brrelexi 4450 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
69 xpexg 4520 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( C  X.  A
)  e.  _V )
7066, 68, 69sylancr 405 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  e.  _V )
7170adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  e.  _V )
7267brrelex2i 4451 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
73 xpexg 4520 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  X.  B
)  e.  _V )
7466, 72, 73sylancr 405 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  B )  e.  _V )
7574adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  B
)  e.  _V )
7611, 65, 71, 75dom3d 6443 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  ~<_  ( C  X.  B ) )
771, 76exlimddv 1823 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   E.wrex 2356   _Vcvv 2615   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3636   class class class wbr 3820    X. cxp 4409   dom cdm 4411   ran crn 4412   -->wf 4977   -1-1->wf1 4978   ` cfv 4981    ~<_ cdom 6408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fv 4989  df-dom 6411
This theorem is referenced by:  xpdom2g  6500  xpct  11091
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