Theorem xpdom2 6890

Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpdom.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpdom2	|- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Proof of Theorem xpdom2

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6808	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2		f1f 5463	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
3		ffvelcdm 5695	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ U. ran { x } e. A ) -> ( f ` U. ran { x } ) e. B )
4	3	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
6	5	anim2d 337	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
7	6	adantld 278	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
8		elxp4 5157	. . . . 5 |- ( x e. ( C X. A ) <-> ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) )
9		opelxp 4693	. . . . 5 |- ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) <-> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
12		elxp2 4681	. . . . . 6 |- ( x e. ( C X. A ) <-> E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. )
13		elxp2 4681	. . . . . 6 |- ( y e. ( C X. A ) <-> E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. )
14		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
15		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- f e. _V
16		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
17	15, 16	fvex 5578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` w ) e. _V
18	14, 17	opth 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) )
19		f1fveq 5819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
22	18, 21	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
23	22	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. A /\ u e. A ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
24	23	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
26	25	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
27		sneq 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> { x } = { <. z , w >. } )
28	27	dmeqd 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> dom { x } = dom { <. z , w >. } )
29	28	unieqd 3850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = U. dom { <. z , w >. } )
30	14, 16	op1sta 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. z , w >. } = z
31	29, 30	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = z )
32	27	rneqd 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ran { x } = ran { <. z , w >. } )
33	32	unieqd 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = U. ran { <. z , w >. } )
34	14, 16	op2nda 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. z , w >. } = w
35	33, 34	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = w )
36	35	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> ( f ` U. ran { x } ) = ( f ` w ) )
37	31, 36	opeq12d 3816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = <. z , w >. -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. z , ( f ` w ) >. )
38		sneq 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> { y } = { <. v , u >. } )
39	38	dmeqd 4868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> dom { y } = dom { <. v , u >. } )
40	39	unieqd 3850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = U. dom { <. v , u >. } )
41		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- v e. _V
42		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- u e. _V
43	41, 42	op1sta 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. v , u >. } = v
44	40, 43	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = v )
45	38	rneqd 4895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ran { y } = ran { <. v , u >. } )
46	45	unieqd 3850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = U. ran { <. v , u >. } )
47	41, 42	op2nda 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. v , u >. } = u
48	46, 47	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = u )
49	48	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> ( f ` U. ran { y } ) = ( f ` u ) )
50	44, 49	opeq12d 3816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = <. v , u >. -> <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. = <. v , ( f ` u ) >. )
51	37, 50	eqeqan12d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
53		eqeq12 2209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> <. z , w >. = <. v , u >. ) )
54	14, 16	opth 4270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
55	53, 54	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
56	55	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
57	26, 52, 56	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) )
58	57	exp53 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
60	59	rexlimivv 2620	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2621	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) )
62	61	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. /\ E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
63	12, 13, 62	syl2anb 291	. . . . 5 |- ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
64	63	com12 30	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
65	64	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
66		xpdom.2	. . . . 5 |- C e. _V
67		reldom 6804	. . . . . 6 |- Rel ~<_
68	67	brrelex1i 4706	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
69		xpexg 4777	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C X. A ) e. _V )
70	66, 68, 69	sylancr 414	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) e. _V )
71	70	adantr 276	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) e. _V )
72	67	brrelex2i 4707	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
73		xpexg 4777	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C X. B ) e. _V )
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. B ) e. _V )
75	74	adantr 276	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. B ) e. _V )
76	11, 65, 71, 75	dom3d 6833	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )
77	1, 76	exlimddv 1913	1 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   {csn 3622   <.cop 3625   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   -->wf 5254   -1-1->wf1 5255   ` cfv 5258   ~<_ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fv 5266  df-dom 6801

This theorem is referenced by:  xpdom2g  6891  xpct  12613