Theorem xpdom2 6718

Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpdom.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpdom2	|- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Proof of Theorem xpdom2

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6636	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2		f1f 5323	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
3		ffvelrn 5546	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ U. ran { x } e. A ) -> ( f ` U. ran { x } ) e. B )
4	3	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
6	5	anim2d 335	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
7	6	adantld 276	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
8		elxp4 5021	. . . . 5 |- ( x e. ( C X. A ) <-> ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) )
9		opelxp 4564	. . . . 5 |- ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) <-> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
11	10	adantl 275	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
12		elxp2 4552	. . . . . 6 |- ( x e. ( C X. A ) <-> E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. )
13		elxp2 4552	. . . . . 6 |- ( y e. ( C X. A ) <-> E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. )
14		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
15		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- f e. _V
16		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
17	15, 16	fvex 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` w ) e. _V
18	14, 17	opth 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) )
19		f1fveq 5666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
20	19	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
21	20	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
22	18, 21	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
23	22	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. A /\ u e. A ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
24	23	ad2ant2l 499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
25	24	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
26	25	adantlr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
27		sneq 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> { x } = { <. z , w >. } )
28	27	dmeqd 4736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> dom { x } = dom { <. z , w >. } )
29	28	unieqd 3742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = U. dom { <. z , w >. } )
30	14, 16	op1sta 5015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. z , w >. } = z
31	29, 30	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = z )
32	27	rneqd 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ran { x } = ran { <. z , w >. } )
33	32	unieqd 3742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = U. ran { <. z , w >. } )
34	14, 16	op2nda 5018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. z , w >. } = w
35	33, 34	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = w )
36	35	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> ( f ` U. ran { x } ) = ( f ` w ) )
37	31, 36	opeq12d 3708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = <. z , w >. -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. z , ( f ` w ) >. )
38		sneq 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> { y } = { <. v , u >. } )
39	38	dmeqd 4736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> dom { y } = dom { <. v , u >. } )
40	39	unieqd 3742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = U. dom { <. v , u >. } )
41		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- v e. _V
42		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- u e. _V
43	41, 42	op1sta 5015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. v , u >. } = v
44	40, 43	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = v )
45	38	rneqd 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ran { y } = ran { <. v , u >. } )
46	45	unieqd 3742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = U. ran { <. v , u >. } )
47	41, 42	op2nda 5018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. v , u >. } = u
48	46, 47	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = u )
49	48	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> ( f ` U. ran { y } ) = ( f ` u ) )
50	44, 49	opeq12d 3708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = <. v , u >. -> <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. = <. v , ( f ` u ) >. )
51	37, 50	eqeqan12d 2153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
52	51	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
53		eqeq12 2150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> <. z , w >. = <. v , u >. ) )
54	14, 16	opth 4154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
55	53, 54	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
56	55	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
57	26, 52, 56	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) )
58	57	exp53 374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
60	59	rexlimivv 2553	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2554	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) )
62	61	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. /\ E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
63	12, 13, 62	syl2anb 289	. . . . 5 |- ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
64	63	com12 30	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
65	64	adantl 275	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
66		xpdom.2	. . . . 5 |- C e. _V
67		reldom 6632	. . . . . 6 |- Rel ~<_
68	67	brrelex1i 4577	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
69		xpexg 4648	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C X. A ) e. _V )
70	66, 68, 69	sylancr 410	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) e. _V )
71	70	adantr 274	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) e. _V )
72	67	brrelex2i 4578	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
73		xpexg 4648	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C X. B ) e. _V )
74	66, 72, 73	sylancr 410	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. B ) e. _V )
75	74	adantr 274	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. B ) e. _V )
76	11, 65, 71, 75	dom3d 6661	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )
77	1, 76	exlimddv 1870	1 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   _Vcvv 2681   {csn 3522   <.cop 3525   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   dom cdm 4534   ran crn 4535   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   ` cfv 5118   ~<_ cdom 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fv 5126  df-dom 6629

This theorem is referenced by:  xpdom2g  6719  xpct  11898