Theorem xpdom2 6825

Description: Dominance law for Cartesian product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpdom.2	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpdom2	|- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Proof of Theorem xpdom2

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6743	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )
2		f1f 5417	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
3		ffvelcdm 5645	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ U. ran { x } e. A ) -> ( f ` U. ran { x } ) e. B )
4	3	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-> B -> ( U. ran { x } e. A -> ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
6	5	anim2d 337	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
7	6	adantld 278	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) -> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) ) )
8		elxp4 5112	. . . . 5 |- ( x e. ( C X. A ) <-> ( x = <. U. dom { x } , U. ran { x } >. /\ ( U. dom { x } e. C /\ U. ran { x } e. A ) ) )
9		opelxp 4653	. . . . 5 |- ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) <-> ( U. dom { x } e. C /\ ( f ` U. ran { x } ) e. B ) )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
11	10	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x e. ( C X. A ) -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. e. ( C X. B ) ) )
12		elxp2 4641	. . . . . 6 |- ( x e. ( C X. A ) <-> E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. )
13		elxp2 4641	. . . . . 6 |- ( y e. ( C X. A ) <-> E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. )
14		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
15		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- f e. _V
16		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- w e. _V
17	15, 16	fvex 5531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` w ) e. _V
18	14, 17	opth 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) )
19		f1fveq 5767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( f ` w ) = ( f ` u ) <-> w = u ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( z = v /\ ( f ` w ) = ( f ` u ) ) <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
22	18, 21	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w e. A /\ u e. A ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
23	22	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. A /\ u e. A ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
24	23	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
26	25	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
27		sneq 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> { x } = { <. z , w >. } )
28	27	dmeqd 4825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> dom { x } = dom { <. z , w >. } )
29	28	unieqd 3818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = U. dom { <. z , w >. } )
30	14, 16	op1sta 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. z , w >. } = z
31	29, 30	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> U. dom { x } = z )
32	27	rneqd 4852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , w >. -> ran { x } = ran { <. z , w >. } )
33	32	unieqd 3818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = U. ran { <. z , w >. } )
34	14, 16	op2nda 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. z , w >. } = w
35	33, 34	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , w >. -> U. ran { x } = w )
36	35	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = <. z , w >. -> ( f ` U. ran { x } ) = ( f ` w ) )
37	31, 36	opeq12d 3784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = <. z , w >. -> <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. z , ( f ` w ) >. )
38		sneq 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> { y } = { <. v , u >. } )
39	38	dmeqd 4825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> dom { y } = dom { <. v , u >. } )
40	39	unieqd 3818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = U. dom { <. v , u >. } )
41		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- v e. _V
42		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- u e. _V
43	41, 42	op1sta 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. dom { <. v , u >. } = v
44	40, 43	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> U. dom { y } = v )
45	38	rneqd 4852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. v , u >. -> ran { y } = ran { <. v , u >. } )
46	45	unieqd 3818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = U. ran { <. v , u >. } )
47	41, 42	op2nda 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ran { <. v , u >. } = u
48	46, 47	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. v , u >. -> U. ran { y } = u )
49	48	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. v , u >. -> ( f ` U. ran { y } ) = ( f ` u ) )
50	44, 49	opeq12d 3784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = <. v , u >. -> <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. = <. v , ( f ` u ) >. )
51	37, 50	eqeqan12d 2193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> <. z , ( f ` w ) >. = <. v , ( f ` u ) >. ) )
53		eqeq12 2190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> <. z , w >. = <. v , u >. ) )
54	14, 16	opth 4234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
55	53, 54	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
56	55	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( x = y <-> ( z = v /\ w = u ) ) )
57	26, 52, 56	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( z e. C /\ w e. A ) /\ ( v e. C /\ u e. A ) ) /\ ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) /\ f : A -1-1-> B ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) )
58	57	exp53 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
59	58	com23 78	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. C /\ w e. A ) -> ( x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) ) )
60	59	rexlimivv 2600	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( ( v e. C /\ u e. A ) -> ( y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 2601	. . . . . . 7 |- ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. -> ( E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) ) )
62	61	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( E. z e. C E. w e. A x = <. z , w >. /\ E. v e. C E. u e. A y = <. v , u >. ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
63	12, 13, 62	syl2anb 291	. . . . 5 |- ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( f : A -1-1-> B -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
64	63	com12 30	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
65	64	adantl 277	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( ( x e. ( C X. A ) /\ y e. ( C X. A ) ) -> ( <. U. dom { x } , ( f ` U. ran { x } ) >. = <. U. dom { y } , ( f ` U. ran { y } ) >. <-> x = y ) ) )
66		xpdom.2	. . . . 5 |- C e. _V
67		reldom 6739	. . . . . 6 |- Rel ~<_
68	67	brrelex1i 4666	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
69		xpexg 4737	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C X. A ) e. _V )
70	66, 68, 69	sylancr 414	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) e. _V )
71	70	adantr 276	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) e. _V )
72	67	brrelex2i 4667	. . . . 5 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
73		xpexg 4737	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C X. B ) e. _V )
74	66, 72, 73	sylancr 414	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> ( C X. B ) e. _V )
75	74	adantr 276	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. B ) e. _V )
76	11, 65, 71, 75	dom3d 6768	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ f : A -1-1-> B ) -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )
77	1, 76	exlimddv 1898	1 |- ( A ~<_ B -> ( C X. A ) ~<_ ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   X. cxp 4621   dom cdm 4623   ran crn 4624   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   ` cfv 5212   ~<_ cdom 6733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fv 5220  df-dom 6736

This theorem is referenced by:  xpdom2g  6826  xpct  12380