Theorem xpiundir 4526

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundir	|- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundir

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2656	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
2		df-rex 2376	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
3	2	rexbii 2396	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
4		eliun 3756	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5	4	anbi1i 447	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
6		r19.41v 2537	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
8	7	exbii 1548	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
9	1, 3, 8	3bitr4ri 212	. . . 4 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
10		df-rex 2376	. . . 4 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
11		elxp2 4485	. . . . 5 |- ( z e. ( B X. C ) <-> E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
12	11	rexbii 2396	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( B X. C ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
13	9, 10, 12	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
14		elxp2 4485	. . 3 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. )
15		eliun 3756	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( B X. C ) <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> z e. U_ x e. A ( B X. C ) )
17	16	eqriv 2092	1 |- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   E.wrex 2371   <.cop 3469   U_ciun 3752   X. cxp 4465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-iun 3754  df-opab 3922  df-xp 4473

This theorem is referenced by:  iunxpconst  4527  resiun2  4765