Theorem xpiundir 4606

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundir	|- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundir

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2712	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
2		df-rex 2423	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
3	2	rexbii 2445	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
4		eliun 3825	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5	4	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
6		r19.41v 2590	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
8	7	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
9	1, 3, 8	3bitr4ri 212	. . . 4 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
10		df-rex 2423	. . . 4 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
11		elxp2 4565	. . . . 5 |- ( z e. ( B X. C ) <-> E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
12	11	rexbii 2445	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( B X. C ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
13	9, 10, 12	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
14		elxp2 4565	. . 3 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. )
15		eliun 3825	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( B X. C ) <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> z e. U_ x e. A ( B X. C ) )
17	16	eqriv 2137	1 |- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E.wrex 2418   <.cop 3535   U_ciun 3821   X. cxp 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-iun 3823  df-opab 3998  df-xp 4553

This theorem is referenced by:  iunxpconst  4607  resiun2  4847  txbasval  12475