Theorem xpiundir 4670

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundir	|- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundir

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2753	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
2		df-rex 2454	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
3	2	rexbii 2477	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
4		eliun 3877	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5	4	anbi1i 455	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
6		r19.41v 2626	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
8	7	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
9	1, 3, 8	3bitr4ri 212	. . . 4 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
10		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
11		elxp2 4629	. . . . 5 |- ( z e. ( B X. C ) <-> E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
12	11	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( B X. C ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
13	9, 10, 12	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
14		elxp2 4629	. . 3 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. )
15		eliun 3877	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( B X. C ) <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> z e. U_ x e. A ( B X. C ) )
17	16	eqriv 2167	1 |- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   U_ciun 3873   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iun 3875  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  iunxpconst  4671  resiun2  4911  txbasval  13061