Theorem xpiundir 4829

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundir	|- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundir

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 2845	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
2		df-rex 2534	. . . . . 6 |- ( E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
3	2	rexbii 2557	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
4		eliun 4011	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5	4	anbi1i 462	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
6		r19.41v 2707	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
8	7	exbii 1658	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
9	1, 3, 8	3bitr4ri 213	. . . 4 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
10		df-rex 2534	. . . 4 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ E. w e. C z = <. y , w >. ) )
11		elxp2 4787	. . . . 5 |- ( z e. ( B X. C ) <-> E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
12	11	rexbii 2557	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( B X. C ) <-> E. x e. A E. y e. B E. w e. C z = <. y , w >. )
13	9, 10, 12	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
14		elxp2 4787	. . 3 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> E. y e. U_ x e. A B E. w e. C z = <. y , w >. )
15		eliun 4011	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( B X. C ) <-> E. x e. A z e. ( B X. C ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( z e. ( U_ x e. A B X. C ) <-> z e. U_ x e. A ( B X. C ) )
17	16	eqriv 2235	1 |- ( U_ x e. A B X. C ) = U_ x e. A ( B X. C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   <.cop 3708   U_ciun 4007   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-iun 4009  df-opab 4188  df-xp 4775

This theorem is referenced by:  iunxpconst  4830  resiun2  5078  txbasval  15291