Theorem elreal 7840

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	|- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elreal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7834	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2254	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		elxp2 4656	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> E. x e. R. E. y e. { 0R } A = <. x , y >. )
4		0r 7762	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
5	4	elexi 2761	. . . . . 6 |- 0R e. _V
6		opeq2 3791	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
7	6	eqeq2d 2199	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. x , 0R >. ) )
8	5, 7	rexsn 3648	. . . . 5 |- ( E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> A = <. x , 0R >. )
9		eqcom 2189	. . . . 5 |- ( A = <. x , 0R >. <-> <. x , 0R >. = A )
10	8, 9	bitri 184	. . . 4 |- ( E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> <. x , 0R >. = A )
11	10	rexbii 2494	. . 3 |- ( E. x e. R. E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
12	3, 11	bitri 184	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
13	2, 12	bitri 184	1 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   {csn 3604   <.cop 3607   X. cxp 4636   R.cnr 7309   0Rc0r 7310   RRcr 7823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-enr 7738  df-nr 7739  df-0r 7743  df-r 7834

This theorem is referenced by:  elrealeu  7841  axaddrcl  7877  axmulrcl  7879  axprecex  7892  axpre-ltirr  7894  axpre-ltwlin  7895  axpre-lttrn  7896  axpre-apti  7897  axpre-ltadd  7898  axpre-mulgt0  7899  axpre-mulext  7900  axarch  7903  axcaucvglemres  7911