Theorem elreal 7790

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	|- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elreal

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7784	. . 3 |- RR = ( R. X. { 0R } )
2	1	eleq2i 2237	. 2 |- ( A e. RR <-> A e. ( R. X. { 0R } ) )
3		elxp2 4629	. . 3 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> E. x e. R. E. y e. { 0R } A = <. x , y >. )
4		0r 7712	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
5	4	elexi 2742	. . . . . 6 |- 0R e. _V
6		opeq2 3766	. . . . . . 7 |- ( y = 0R -> <. x , y >. = <. x , 0R >. )
7	6	eqeq2d 2182	. . . . . 6 |- ( y = 0R -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. x , 0R >. ) )
8	5, 7	rexsn 3627	. . . . 5 |- ( E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> A = <. x , 0R >. )
9		eqcom 2172	. . . . 5 |- ( A = <. x , 0R >. <-> <. x , 0R >. = A )
10	8, 9	bitri 183	. . . 4 |- ( E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> <. x , 0R >. = A )
11	10	rexbii 2477	. . 3 |- ( E. x e. R. E. y e. { 0R } A = <. x , y >. <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
12	3, 11	bitri 183	. 2 |- ( A e. ( R. X. { 0R } ) <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
13	2, 12	bitri 183	1 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   {csn 3583   <.cop 3586   X. cxp 4609   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   RRcr 7773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-enr 7688  df-nr 7689  df-0r 7693  df-r 7784

This theorem is referenced by:  elrealeu  7791  axaddrcl  7827  axmulrcl  7829  axprecex  7842  axpre-ltirr  7844  axpre-ltwlin  7845  axpre-lttrn  7846  axpre-apti  7847  axpre-ltadd  7848  axpre-mulgt0  7849  axpre-mulext  7850  axarch  7853  axcaucvglemres  7861