ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal Unicode version

Theorem elreal 7429
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
elreal  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elreal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7423 . . 3  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
21eleq2i 2155 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  A  e.  ( R.  X.  { 0R } ) )
3 elxp2 4472 . . 3  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  E. y  e. 
{ 0R } A  =  <. x ,  y
>. )
4 0r 7359 . . . . . . 7  |-  0R  e.  R.
54elexi 2634 . . . . . 6  |-  0R  e.  _V
6 opeq2 3631 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
76eqeq2d 2100 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
)
85, 7rexsn 3493 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
9 eqcom 2091 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  0R >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A )
108, 9bitri 183 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A
)
1110rexbii 2386 . . 3  |-  ( E. x  e.  R.  E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
123, 11bitri 183 . 2  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
132, 12bitri 183 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   E.wrex 2361   {csn 3452   <.cop 3455    X. cxp 4452   R.cnr 6919   0Rc0r 6920   RRcr 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-eprel 4127  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-pli 6927  df-mi 6928  df-lti 6929  df-plpq 6966  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-plqqs 6971  df-mqqs 6972  df-1nqqs 6973  df-rq 6974  df-ltnqqs 6975  df-inp 7088  df-i1p 7089  df-enr 7335  df-nr 7336  df-0r 7340  df-r 7423
This theorem is referenced by:  elrealeu  7430  axaddrcl  7465  axmulrcl  7467  axprecex  7478  axpre-ltirr  7480  axpre-ltwlin  7481  axpre-lttrn  7482  axpre-apti  7483  axpre-ltadd  7484  axpre-mulgt0  7485  axpre-mulext  7486  axarch  7489  axcaucvglemres  7497
  Copyright terms: Public domain W3C validator