ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpiundi Unicode version

Theorem xpiundi 4509
Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpiundi  |-  ( C  X.  U_ x  e.  A  B )  = 
U_ x  e.  A  ( C  X.  B
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem xpiundi
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom 2532 . . . 4  |-  ( E. w  e.  C  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >. )
2 eliun 3740 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
32anbi1i 447 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
43exbii 1542 . . . . . 6  |-  ( E. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )
)
5 df-rex 2366 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
6 df-rex 2366 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
76rexbii 2386 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
) )
8 rexcom4 2643 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
)  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
9 r19.41v 2524 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y >. )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
109exbii 1542 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  z  = 
<. w ,  y >.
)  <->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
117, 8, 103bitri 205 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. y ( E. x  e.  A  y  e.  B  /\  z  =  <. w ,  y
>. ) )
124, 5, 113bitr4i 211 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >. )
1312rexbii 2386 . . . 4  |-  ( E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  = 
<. w ,  y >.  <->  E. w  e.  C  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y
>. )
14 elxp2 4470 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( C  X.  B )  <->  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >.
)
1514rexbii 2386 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B )  <->  E. x  e.  A  E. w  e.  C  E. y  e.  B  z  =  <. w ,  y >.
)
161, 13, 153bitr4i 211 . . 3  |-  ( E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  = 
<. w ,  y >.  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B ) )
17 elxp2 4470 . . 3  |-  ( z  e.  ( C  X.  U_ x  e.  A  B
)  <->  E. w  e.  C  E. y  e.  U_  x  e.  A  B z  =  <. w ,  y
>. )
18 eliun 3740 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( C  X.  B )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( C  X.  B
) )
1916, 17, 183bitr4i 211 . 2  |-  ( z  e.  ( C  X.  U_ x  e.  A  B
)  <->  z  e.  U_ x  e.  A  ( C  X.  B ) )
2019eqriv 2086 1  |-  ( C  X.  U_ x  e.  A  B )  = 
U_ x  e.  A  ( C  X.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   E.wrex 2361   <.cop 3453   U_ciun 3736    X. cxp 4450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-iun 3738  df-opab 3906  df-xp 4458
This theorem is referenced by:  xpexgALT  5918
  Copyright terms: Public domain W3C validator