Theorem xpiundi 4808

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundi	|- ( C X. U_ x e. A B ) = U_ x e. A ( C X. B )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundi

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2707	. . . 4 |- ( E. w e. C E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
2		eliun 3995	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
3	2	anbi1i 458	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
4	3	exbii 1654	. . . . . 6 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
5		df-rex 2526	. . . . . 6 |- ( E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) )
6		df-rex 2526	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
7	6	rexbii 2549	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
8		rexcom4 2837	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
9		r19.41v 2699	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
10	9	exbii 1654	. . . . . . 7 |- ( E. y E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
11	7, 8, 10	3bitri 206	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
12	4, 5, 11	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. )
13	12	rexbii 2549	. . . 4 |- ( E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. w e. C E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. )
14		elxp2 4767	. . . . 5 |- ( z e. ( C X. B ) <-> E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
15	14	rexbii 2549	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( C X. B ) <-> E. x e. A E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
16	1, 13, 15	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. x e. A z e. ( C X. B ) )
17		elxp2 4767	. . 3 |- ( z e. ( C X. U_ x e. A B ) <-> E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. )
18		eliun 3995	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( C X. B ) <-> E. x e. A z e. ( C X. B ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 212	. 2 |- ( z e. ( C X. U_ x e. A B ) <-> z e. U_ x e. A ( C X. B ) )
20	19	eqriv 2229	1 |- ( C X. U_ x e. A B ) = U_ x e. A ( C X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   E.wrex 2521   <.cop 3692   U_ciun 3991   X. cxp 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-iun 3993  df-opab 4172  df-xp 4755

This theorem is referenced by:  xpexgALT  6326  txbasval  15132