Theorem xpiundi 4662

Description: Distributive law for cross product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundi	|- ( C X. U_ x e. A B ) = U_ x e. A ( C X. B )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundi

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 2630	. . . 4 |- ( E. w e. C E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
2		eliun 3870	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
3	2	anbi1i 454	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
4	3	exbii 1593	. . . . . 6 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
5		df-rex 2450	. . . . . 6 |- ( E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) )
6		df-rex 2450	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
7	6	rexbii 2473	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
8		rexcom4 2749	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
9		r19.41v 2622	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
10	9	exbii 1593	. . . . . . 7 |- ( E. y E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
11	7, 8, 10	3bitri 205	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
12	4, 5, 11	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. )
13	12	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. w e. C E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. )
14		elxp2 4622	. . . . 5 |- ( z e. ( C X. B ) <-> E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
15	14	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( C X. B ) <-> E. x e. A E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
16	1, 13, 15	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. x e. A z e. ( C X. B ) )
17		elxp2 4622	. . 3 |- ( z e. ( C X. U_ x e. A B ) <-> E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. )
18		eliun 3870	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( C X. B ) <-> E. x e. A z e. ( C X. B ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 211	. 2 |- ( z e. ( C X. U_ x e. A B ) <-> z e. U_ x e. A ( C X. B ) )
20	19	eqriv 2162	1 |- ( C X. U_ x e. A B ) = U_ x e. A ( C X. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   U_ciun 3866   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iun 3868  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  xpexgALT  6101  txbasval  12917