Theorem f1o2ndf1 6223

Description: The 2nd (second component of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function F is a one-to-one function from F onto the range of F. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f1o2ndf1	|- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F )

Proof of Theorem f1o2ndf1

Dummy variables a b v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5417	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fo2ndf 6222	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F )
4		f2ndf 6221	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( 2nd |` F ) : F --> B )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F --> B )
6		fssxp 5379	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F C_ ( A X. B ) )
8		ssel2 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ x e. F ) -> x e. ( A X. B ) )
9		elxp2 4641	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A X. B ) <-> E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ x e. F ) -> E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. )
11		ssel2 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ y e. F ) -> y e. ( A X. B ) )
12		elxp2 4641	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( A X. B ) <-> E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. )
13	11, 12	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ y e. F ) -> E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. )
14	10, 13	anim12dan 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. /\ E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. ) )
15		fvres 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( <. a , v >. e. F -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
18		fvres 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. b , w >. e. F -> ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) )
19	18	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) )
20	17, 19	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) <-> ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) ) )
21		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- a e. _V
22		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- v e. _V
23	21, 22	op2nd 6142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2nd ` <. a , v >. ) = v
24		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- b e. _V
25		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- w e. _V
26	24, 25	op2nd 6142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2nd ` <. b , w >. ) = w
27	23, 26	eqeq12i 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) <-> v = w )
28		f1fun 5420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun F )
29		funopfv 5551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( <. a , v >. e. F -> ( F ` a ) = v ) )
30		funopfv 5551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( <. b , w >. e. F -> ( F ` b ) = w ) )
31	29, 30	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Fun F -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) ) )
32	28, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) ) )
33		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F ` a ) = v <-> v = ( F ` a ) )
34	33	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F ` a ) = v -> v = ( F ` a ) )
35		eqcom 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F ` b ) = w <-> w = ( F ` b ) )
36	35	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F ` b ) = w -> w = ( F ` b ) )
37	34, 36	eqeqan12d 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
38		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( a e. A /\ v e. B ) -> a e. A )
39		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( b e. A /\ w e. B ) -> b e. A )
40	38, 39	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( a e. A /\ b e. A ) )
41		f1veqaeq 5764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
42	40, 41	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
43		opeq12 3778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( a = b /\ v = w ) -> <. a , v >. = <. b , w >. )
44	43	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( a = b -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) )
45	42, 44	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
46	45	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( v = w -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
47	46	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
48	47	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
49	37, 48	syl6bi 163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) ) )
50	49	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( v = w -> ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) ) )
51	50	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
54	32, 53	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
55	54	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
56	55	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
58	27, 57	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
59	20, 58	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
60	59	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
61	60	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
63	62	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
64	63	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
66		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. a , v >. -> ( x e. F <-> <. a , v >. e. F ) )
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( x e. F <-> <. a , v >. e. F ) )
68		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. b , w >. -> ( y e. F <-> <. b , w >. e. F ) )
69	67, 68	bi2anan9 606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( x e. F /\ y e. F ) <-> ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) )
70	69	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) ) )
71		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. a , v >. -> ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) )
72	71	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) )
73		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. b , w >. -> ( ( 2nd |` F ) ` y ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) )
74	72, 73	eqeqan12d 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) <-> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) ) )
75		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> x = <. a , v >. )
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> y = <. b , w >. )
77	75, 76	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( x = y <-> <. a , v >. = <. b , w >. ) )
78	74, 77	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) <-> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
79	78	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
80	65, 70, 79	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
81	80	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
82	81	rexlimdvva 2602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
83	82	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. A /\ v e. B ) -> ( x = <. a , v >. -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
84	83	rexlimivv 2600	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
85	84	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. /\ E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
86	14, 85	mpcom 36	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
87	86	ex 115	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
88	87	com23 78	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
89	7, 88	mpcom 36	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
90	89	ralrimivv 2558	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> A. x e. F A. y e. F ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) )
91		dff13 5763	. . . 4 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B <-> ( ( 2nd |` F ) : F --> B /\ A. x e. F A. y e. F ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
92	5, 90, 91	sylanbrc 417	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B )
93		df-f1 5217	. . . 4 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B <-> ( ( 2nd |` F ) : F --> B /\ Fun `' ( 2nd |` F ) ) )
94	93	simprbi 275	. . 3 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B -> Fun `' ( 2nd |` F ) )
95	92, 94	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( 2nd |` F ) )
96		dff1o3 5463	. 2 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F <-> ( ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F /\ Fun `' ( 2nd |` F ) ) )
97	3, 95, 96	sylanbrc 417	1 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   <.cop 3594   X. cxp 4621   `'ccnv 4622   ran crn 4624   |` cres 4625   Fun wfun 5206   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212   2ndc2nd 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-2nd 6136

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10752