Theorem f1o2ndf1 6118

Description: The 2nd (second component of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function F is a one-to-one function from F onto the range of F. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f1o2ndf1	|- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F )

Proof of Theorem f1o2ndf1

Dummy variables a b v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5323	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fo2ndf 6117	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F )
4		f2ndf 6116	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( 2nd |` F ) : F --> B )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F --> B )
6		fssxp 5285	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F C_ ( A X. B ) )
8		ssel2 3087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ x e. F ) -> x e. ( A X. B ) )
9		elxp2 4552	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A X. B ) <-> E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. )
10	8, 9	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ x e. F ) -> E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. )
11		ssel2 3087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ y e. F ) -> y e. ( A X. B ) )
12		elxp2 4552	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( A X. B ) <-> E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. )
13	11, 12	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ y e. F ) -> E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. )
14	10, 13	anim12dan 589	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. /\ E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. ) )
15		fvres 5438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( <. a , v >. e. F -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
17	16	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
18		fvres 5438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. b , w >. e. F -> ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) )
19	18	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) )
20	17, 19	eqeq12d 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) <-> ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) ) )
21		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- a e. _V
22		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- v e. _V
23	21, 22	op2nd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2nd ` <. a , v >. ) = v
24		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- b e. _V
25		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- w e. _V
26	24, 25	op2nd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2nd ` <. b , w >. ) = w
27	23, 26	eqeq12i 2151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) <-> v = w )
28		f1fun 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun F )
29		funopfv 5454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( <. a , v >. e. F -> ( F ` a ) = v ) )
30		funopfv 5454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( <. b , w >. e. F -> ( F ` b ) = w ) )
31	29, 30	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Fun F -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) ) )
32	28, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) ) )
33		eqcom 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F ` a ) = v <-> v = ( F ` a ) )
34	33	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F ` a ) = v -> v = ( F ` a ) )
35		eqcom 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F ` b ) = w <-> w = ( F ` b ) )
36	35	biimpi 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F ` b ) = w -> w = ( F ` b ) )
37	34, 36	eqeqan12d 2153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
38		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( a e. A /\ v e. B ) -> a e. A )
39		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( b e. A /\ w e. B ) -> b e. A )
40	38, 39	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( a e. A /\ b e. A ) )
41		f1veqaeq 5663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
42	40, 41	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
43		opeq12 3702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( a = b /\ v = w ) -> <. a , v >. = <. b , w >. )
44	43	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( a = b -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) )
45	42, 44	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
46	45	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( v = w -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
47	46	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
48	47	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
49	37, 48	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) ) )
50	49	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( v = w -> ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) ) )
51	50	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
53	52	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
54	32, 53	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
55	54	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
56	55	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
58	27, 57	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
59	20, 58	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
60	59	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
61	60	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
62	61	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
63	62	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
64	63	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
65	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
66		eleq1 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. a , v >. -> ( x e. F <-> <. a , v >. e. F ) )
67	66	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( x e. F <-> <. a , v >. e. F ) )
68		eleq1 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. b , w >. -> ( y e. F <-> <. b , w >. e. F ) )
69	67, 68	bi2anan9 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( x e. F /\ y e. F ) <-> ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) )
70	69	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) ) )
71		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. a , v >. -> ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) )
72	71	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) )
73		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. b , w >. -> ( ( 2nd |` F ) ` y ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) )
74	72, 73	eqeqan12d 2153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) <-> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) ) )
75		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> x = <. a , v >. )
76		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> y = <. b , w >. )
77	75, 76	eqeq12d 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( x = y <-> <. a , v >. = <. b , w >. ) )
78	74, 77	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) <-> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
79	78	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
80	65, 70, 79	3imtr4d 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
81	80	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
82	81	rexlimdvva 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
83	82	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. A /\ v e. B ) -> ( x = <. a , v >. -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
84	83	rexlimivv 2553	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
85	84	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. /\ E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
86	14, 85	mpcom 36	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
87	86	ex 114	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
88	87	com23 78	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
89	7, 88	mpcom 36	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
90	89	ralrimivv 2511	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> A. x e. F A. y e. F ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) )
91		dff13 5662	. . . 4 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B <-> ( ( 2nd |` F ) : F --> B /\ A. x e. F A. y e. F ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
92	5, 90, 91	sylanbrc 413	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B )
93		df-f1 5123	. . . 4 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B <-> ( ( 2nd |` F ) : F --> B /\ Fun `' ( 2nd |` F ) ) )
94	93	simprbi 273	. . 3 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B -> Fun `' ( 2nd |` F ) )
95	92, 94	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( 2nd |` F ) )
96		dff1o3 5366	. 2 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F <-> ( ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F /\ Fun `' ( 2nd |` F ) ) )
97	3, 95, 96	sylanbrc 413	1 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   <.cop 3525   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   ran crn 4535   |` cres 4536   Fun wfun 5112   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   2ndc2nd 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-2nd 6032

This theorem is referenced by:  fihashf1rn  10528