Theorem eqlei2 8368

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
eqlei2	|- ( B = A -> B <_ A )

Proof of Theorem eqlei2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		eleq1 2295	. . 3 |- ( B = A -> ( B e. RR <-> A e. RR ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 |- ( B = A -> B e. RR )
4		eqle 8365	. 2 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
5	3, 4	mpancom 422	1 |- ( B = A -> B <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   <_ cle 8309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9231