Theorem gtneii 8371

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8910 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
gtneii	|- B =/= A

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		ltneii.2	. 2 |- A < B
3		ltne 8360	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- B =/= A

Syntax hints:   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4111   RRcr 8128   < clt 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-pre-ltirr 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315

This theorem is referenced by:  ltneii  8372  ine0  8669  fztpval  10421  ene1  12475  3lcm2e6  12861  starvndxnbasendx  13372  starvndxnplusgndx  13373  starvndxnmulrndx  13374  scandxnbasendx  13384  scandxnplusgndx  13385  scandxnmulrndx  13386  vscandxnbasendx  13389  vscandxnplusgndx  13390  vscandxnmulrndx  13391  vscandxnscandx  13392  ipndxnbasendx  13402  ipndxnplusgndx  13403  ipndxnmulrndx  13404  tsetndxnbasendx  13421  tsetndxnplusgndx  13422  tsetndxnmulrndx  13423  tsetndxnstarvndx  13424  slotstnscsi  13425  plendxnbasendx  13435  plendxnplusgndx  13436  plendxnmulrndx  13437  plendxnscandx  13438  plendxnvscandx  13439  dsndxnbasendx  13450  dsndxnplusgndx  13451  dsndxnmulrndx  13452  slotsdnscsi  13453  dsndxntsetndx  13454  unifndxnbasendx  13460  unifndxntsetndx  13461  setsmsdsg  15362  2logb9irr  15853  2logb3irr  15855  2logb9irrap  15859  konigsberglem2  16501