Theorem gtneii 8385

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8925 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
gtneii	|- B =/= A

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		ltneii.2	. 2 |- A < B
3		ltne 8374	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- B =/= A

Syntax hints:   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   RRcr 8142   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  ltneii  8386  ine0  8684  fztpval  10439  ene1  12496  3lcm2e6  12882  ballotfilemi1  13189  starvndxnbasendx  13439  starvndxnplusgndx  13440  starvndxnmulrndx  13441  scandxnbasendx  13451  scandxnplusgndx  13452  scandxnmulrndx  13453  vscandxnbasendx  13456  vscandxnplusgndx  13457  vscandxnmulrndx  13458  vscandxnscandx  13459  ipndxnbasendx  13469  ipndxnplusgndx  13470  ipndxnmulrndx  13471  tsetndxnbasendx  13488  tsetndxnplusgndx  13489  tsetndxnmulrndx  13490  tsetndxnstarvndx  13491  slotstnscsi  13492  plendxnbasendx  13502  plendxnplusgndx  13503  plendxnmulrndx  13504  plendxnscandx  13505  plendxnvscandx  13506  dsndxnbasendx  13517  dsndxnplusgndx  13518  dsndxnmulrndx  13519  slotsdnscsi  13520  dsndxntsetndx  13521  unifndxnbasendx  13527  unifndxntsetndx  13528  setsmsdsg  15471  2logb9irr  15962  2logb3irr  15964  2logb9irrap  15968  konigsberglem2  16610