Theorem gtneii 8421

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8962 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
gtneii	|- B =/= A

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		ltneii.2	. 2 |- A < B
3		ltne 8410	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 |- B =/= A

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  ltneii  8422  ine0  8721  fztpval  10490  ene1  12552  3lcm2e6  12938  ballotfilemi1  13245  starvndxnbasendx  13496  starvndxnplusgndx  13497  starvndxnmulrndx  13498  scandxnbasendx  13508  scandxnplusgndx  13509  scandxnmulrndx  13510  vscandxnbasendx  13513  vscandxnplusgndx  13514  vscandxnmulrndx  13515  vscandxnscandx  13516  ipndxnbasendx  13526  ipndxnplusgndx  13527  ipndxnmulrndx  13528  tsetndxnbasendx  13545  tsetndxnplusgndx  13546  tsetndxnmulrndx  13547  tsetndxnstarvndx  13548  slotstnscsi  13549  plendxnbasendx  13559  plendxnplusgndx  13560  plendxnmulrndx  13561  plendxnscandx  13562  plendxnvscandx  13563  dsndxnbasendx  13574  dsndxnplusgndx  13575  dsndxnmulrndx  13576  slotsdnscsi  13577  dsndxntsetndx  13578  unifndxnbasendx  13584  unifndxntsetndx  13585  setsmsdsg  15581  2logb9irr  16073  2logb3irr  16075  2logb9irrap  16079  konigsberglem2  16730