Theorem gtneii 8423

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8965 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
gtneii	|- B =/= A

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		ltneii.2	. 2 |- A < B
3		ltne 8411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 |- B =/= A

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   RRcr 8179   < clt 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366

This theorem is used by:  ltneii  8424  ine0  8723  fztpval  10501  ene1  12571  3lcm2e6  12958  ballotfilemi1  13297  starvndxnbasendx  13549  starvndxnplusgndx  13550  starvndxnmulrndx  13551  scandxnbasendx  13561  scandxnplusgndx  13562  scandxnmulrndx  13563  vscandxnbasendx  13566  vscandxnplusgndx  13567  vscandxnmulrndx  13568  vscandxnscandx  13569  ipndxnbasendx  13579  ipndxnplusgndx  13580  ipndxnmulrndx  13581  tsetndxnbasendx  13598  tsetndxnplusgndx  13599  tsetndxnmulrndx  13600  tsetndxnstarvndx  13601  slotstnscsi  13602  plendxnbasendx  13612  plendxnplusgndx  13613  plendxnmulrndx  13614  plendxnscandx  13615  plendxnvscandx  13616  dsndxnbasendx  13627  dsndxnplusgndx  13628  dsndxnmulrndx  13629  slotsdnscsi  13630  dsndxntsetndx  13631  unifndxnbasendx  13637  unifndxntsetndx  13638  setsmsdsg  15672  2logb9irr  16168  2logb3irr  16170  2logb9irrap  16174  konigsberglem2  16896