Theorem gtneii 8369

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8908 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
gtneii	|- B =/= A

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		ltneii.2	. 2 |- A < B
3		ltne 8358	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- B =/= A

Syntax hints:   e. wcel 2203   =/= wne 2412   class class class wbr 4109   RRcr 8126   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-ltirr 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  ltneii  8370  ine0  8667  fztpval  10417  ene1  12471  3lcm2e6  12857  starvndxnbasendx  13355  starvndxnplusgndx  13356  starvndxnmulrndx  13357  scandxnbasendx  13367  scandxnplusgndx  13368  scandxnmulrndx  13369  vscandxnbasendx  13372  vscandxnplusgndx  13373  vscandxnmulrndx  13374  vscandxnscandx  13375  ipndxnbasendx  13385  ipndxnplusgndx  13386  ipndxnmulrndx  13387  tsetndxnbasendx  13404  tsetndxnplusgndx  13405  tsetndxnmulrndx  13406  tsetndxnstarvndx  13407  slotstnscsi  13408  plendxnbasendx  13418  plendxnplusgndx  13419  plendxnmulrndx  13420  plendxnscandx  13421  plendxnvscandx  13422  dsndxnbasendx  13433  dsndxnplusgndx  13434  dsndxnmulrndx  13435  slotsdnscsi  13436  dsndxntsetndx  13437  unifndxnbasendx  13443  unifndxntsetndx  13444  setsmsdsg  15345  2logb9irr  15836  2logb3irr  15838  2logb9irrap  15842  konigsberglem2  16484