Theorem gtneii 8275

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8814 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
ltneii.2	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
gtneii	|- B =/= A

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		ltneii.2	. 2 |- A < B
3		ltne 8264	. 2 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- B =/= A

Syntax hints:   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088   RRcr 8031   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  ltneii  8276  ine0  8573  fztpval  10318  ene1  12364  3lcm2e6  12750  starvndxnbasendx  13243  starvndxnplusgndx  13244  starvndxnmulrndx  13245  scandxnbasendx  13255  scandxnplusgndx  13256  scandxnmulrndx  13257  vscandxnbasendx  13260  vscandxnplusgndx  13261  vscandxnmulrndx  13262  vscandxnscandx  13263  ipndxnbasendx  13273  ipndxnplusgndx  13274  ipndxnmulrndx  13275  tsetndxnbasendx  13292  tsetndxnplusgndx  13293  tsetndxnmulrndx  13294  tsetndxnstarvndx  13295  slotstnscsi  13296  plendxnbasendx  13306  plendxnplusgndx  13307  plendxnmulrndx  13308  plendxnscandx  13309  plendxnvscandx  13310  dsndxnbasendx  13321  dsndxnplusgndx  13322  dsndxnmulrndx  13323  slotsdnscsi  13324  dsndxntsetndx  13325  unifndxnbasendx  13331  unifndxntsetndx  13332  setsmsdsg  15223  2logb9irr  15714  2logb3irr  15716  2logb9irrap  15720  konigsberglem2  16359