Theorem eqlei2 8114

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei2	⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem eqlei2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eqle 8111	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
5	3, 4	mpancom 422	1 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   ≤ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  sup3exmid  8976