ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqlei2 GIF version

Theorem eqlei2 8029
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
eqlei2 (𝐵 = 𝐴𝐵𝐴)

Proof of Theorem eqlei2
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
2 eleq1 2240 . . 3 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
31, 2mpbiri 168 . 2 (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
4 eqle 8026 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 4mpancom 422 1 (𝐵 = 𝐴𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7788  cle 7970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-pre-ltirr 7901
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-cnv 4630  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975
This theorem is referenced by:  sup3exmid  8890
  Copyright terms: Public domain W3C validator