ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqlei2 GIF version

Theorem eqlei2 7870
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
eqlei2 (𝐵 = 𝐴𝐵𝐴)

Proof of Theorem eqlei2
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
2 eleq1 2202 . . 3 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
31, 2mpbiri 167 . 2 (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
4 eqle 7867 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵𝐴)
53, 4mpancom 418 1 (𝐵 = 𝐴𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cr 7631  cle 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818
This theorem is referenced by:  sup3exmid  8727
  Copyright terms: Public domain W3C validator