Theorem eqlei2 8317

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei2	⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem eqlei2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
3	1, 2	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eqle 8314	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
5	3, 4	mpancom 422	1 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   ≤ cle 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9180