Theorem eqle 7637

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	|- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 7630	. 2 |- ( A e. RR -> A <_ A )
2		breq2 3855	. . 3 |- ( A = B -> ( A <_ A <-> A <_ B ) )
3	2	biimpac 293	. 2 |- ( ( A <_ A /\ A = B ) -> A <_ B )
4	1, 3	sylan 278	1 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7410   <_ cle 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-pre-ltirr 7518

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-cnv 4460  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589

This theorem is referenced by:  eqlei  7639  eqlei2  7640  zletric  8855  zlelttric  8856  zltnle  8857  zleloe  8858  zdcle  8884  qletric  9716  qlelttric  9717  qltnle  9718  iseqf1olemkle  9974  resqrexlemcvg  10513  resqrexlemglsq  10516  cjcn2  10765  cvgratz  10987