Theorem eqle 8410

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	|- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 8402	. 2 |- ( A e. RR -> A <_ A )
2		breq2 4132	. . 3 |- ( A = B -> ( A <_ A <-> A <_ B ) )
3	2	biimpac 298	. 2 |- ( ( A <_ A /\ A = B ) -> A <_ B )
4	1, 3	sylan 283	1 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   RRcr 8171   <_ cle 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-pre-ltirr 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359

This theorem is referenced by:  eqlei  8412  eqlei2  8413  zletric  9670  zlelttric  9671  zltnle  9672  zleloe  9673  zdcle  9703  qletric  10657  qlelttric  10658  qltnle  10659  iseqf1olemkle  10915  pfxsuffeqwrdeq  11451  resqrexlemcvg  11766  resqrexlemglsq  11769  cjcn2  12063  cvgratz  12280  gzsumsplit0  14128