Theorem eqle 8381

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	|- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 8373	. 2 |- ( A e. RR -> A <_ A )
2		breq2 4118	. . 3 |- ( A = B -> ( A <_ A <-> A <_ B ) )
3	2	biimpac 298	. 2 |- ( ( A <_ A /\ A = B ) -> A <_ B )
4	1, 3	sylan 283	1 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330

This theorem is referenced by:  eqlei  8383  eqlei2  8384  zletric  9638  zlelttric  9639  zltnle  9640  zleloe  9641  zdcle  9671  qletric  10625  qlelttric  10626  qltnle  10627  iseqf1olemkle  10883  pfxsuffeqwrdeq  11415  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemglsq  11732  cjcn2  12026  cvgratz  12243  gsumsplit0  14099