ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqle Unicode version

Theorem eqle 7479
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 7472 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 breq2 3815 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  B ) )
32biimpac 292 . 2  |-  ( ( A  <_  A  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
41, 3sylan 277 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =  B )  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3811   RRcr 7252    <_ cle 7426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltirr 7360
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-cnv 4409  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431
This theorem is referenced by:  eqlei  7481  eqlei2  7482  zletric  8690  zlelttric  8691  zltnle  8692  zleloe  8693  zdcle  8719  qletric  9544  qlelttric  9545  qltnle  9546  resqrexlemcvg  10279  resqrexlemglsq  10282  cjcn2  10528
  Copyright terms: Public domain W3C validator