Theorem eqle 8199

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	|- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 8191	. 2 |- ( A e. RR -> A <_ A )
2		breq2 4063	. . 3 |- ( A = B -> ( A <_ A <-> A <_ B ) )
3	2	biimpac 298	. 2 |- ( ( A <_ A /\ A = B ) -> A <_ B )
4	1, 3	sylan 283	1 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  eqlei  8201  eqlei2  8202  zletric  9451  zlelttric  9452  zltnle  9453  zleloe  9454  zdcle  9484  qletric  10421  qlelttric  10422  qltnle  10423  iseqf1olemkle  10679  pfxsuffeqwrdeq  11189  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemglsq  11448  cjcn2  11742  cvgratz  11958