Theorem eqle 8015

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	|- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 8007	. 2 |- ( A e. RR -> A <_ A )
2		breq2 3994	. . 3 |- ( A = B -> ( A <_ A <-> A <_ B ) )
3	2	biimpac 296	. 2 |- ( ( A <_ A /\ A = B ) -> A <_ B )
4	1, 3	sylan 281	1 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1349   e. wcel 2142   class class class wbr 3990   RRcr 7777   <_ cle 7959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-pre-ltirr 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-xp 4618  df-cnv 4620  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964

This theorem is referenced by:  eqlei  8017  eqlei2  8018  zletric  9260  zlelttric  9261  zltnle  9262  zleloe  9263  zdcle  9292  qletric  10204  qlelttric  10205  qltnle  10206  iseqf1olemkle  10444  resqrexlemcvg  10987  resqrexlemglsq  10990  cjcn2  11283  cvgratz  11499