Theorem eqle 7848

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eqle	|- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Proof of Theorem eqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leid 7841	. 2 |- ( A e. RR -> A <_ A )
2		breq2 3928	. . 3 |- ( A = B -> ( A <_ A <-> A <_ B ) )
3	2	biimpac 296	. 2 |- ( ( A <_ A /\ A = B ) -> A <_ B )
4	1, 3	sylan 281	1 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RRcr 7612   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  eqlei  7850  eqlei2  7851  zletric  9091  zlelttric  9092  zltnle  9093  zleloe  9094  zdcle  9120  qletric  10014  qlelttric  10015  qltnle  10016  iseqf1olemkle  10250  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemglsq  10787  cjcn2  11078  cvgratz  11294