Theorem f0bi 5583

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	|- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5531	. . 3 |- ( F : (/) --> X -> F Fn (/) )
2		fn0 5501	. . 3 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( F : (/) --> X -> F = (/) )
4		f0 5581	. . 3 |- (/) : (/) --> X
5		feq1 5514	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : (/) --> X <-> (/) : (/) --> X ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. 2 |- ( F = (/) -> F : (/) --> X )
7	3, 6	impbii 126	1 |- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1402   (/)c0 3520   Fn wfn 5370   -->wf 5371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379

This theorem is referenced by:  f0dom0  5584  mapdm0  6931  fset0  6943  map0e  6961  gzsumgsum  14138  griedg0ssusgr  16475