Theorem f0bi 5470

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	|- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5427	. . 3 |- ( F : (/) --> X -> F Fn (/) )
2		fn0 5397	. . 3 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3	1, 2	sylib 122	. 2 |- ( F : (/) --> X -> F = (/) )
4		f0 5468	. . 3 |- (/) : (/) --> X
5		feq1 5410	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : (/) --> X <-> (/) : (/) --> X ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. 2 |- ( F = (/) -> F : (/) --> X )
7	3, 6	impbii 126	1 |- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   (/)c0 3460   Fn wfn 5267   -->wf 5268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276

This theorem is referenced by:  f0dom0  5471  mapdm0  6752  map0e  6775