Theorem f0bi 5390

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	|- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5347	. . 3 |- ( F : (/) --> X -> F Fn (/) )
2		fn0 5317	. . 3 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3	1, 2	sylib 121	. 2 |- ( F : (/) --> X -> F = (/) )
4		f0 5388	. . 3 |- (/) : (/) --> X
5		feq1 5330	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : (/) --> X <-> (/) : (/) --> X ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. 2 |- ( F = (/) -> F : (/) --> X )
7	3, 6	impbii 125	1 |- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   (/)c0 3414   Fn wfn 5193   -->wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202

This theorem is referenced by:  f0dom0  5391  mapdm0  6641  map0e  6664