Theorem f0bi 5310

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	|- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5267	. . 3 |- ( F : (/) --> X -> F Fn (/) )
2		fn0 5237	. . 3 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3	1, 2	sylib 121	. 2 |- ( F : (/) --> X -> F = (/) )
4		f0 5308	. . 3 |- (/) : (/) --> X
5		feq1 5250	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : (/) --> X <-> (/) : (/) --> X ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. 2 |- ( F = (/) -> F : (/) --> X )
7	3, 6	impbii 125	1 |- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   (/)c0 3358   Fn wfn 5113   -->wf 5114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122

This theorem is referenced by:  f0dom0  5311  mapdm0  6550  map0e  6573