Theorem f0bi 5273

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	|- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5230	. . 3 |- ( F : (/) --> X -> F Fn (/) )
2		fn0 5200	. . 3 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
3	1, 2	sylib 121	. 2 |- ( F : (/) --> X -> F = (/) )
4		f0 5271	. . 3 |- (/) : (/) --> X
5		feq1 5213	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : (/) --> X <-> (/) : (/) --> X ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. 2 |- ( F = (/) -> F : (/) --> X )
7	3, 6	impbii 125	1 |- ( F : (/) --> X <-> F = (/) )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1314   (/)c0 3329   Fn wfn 5076   -->wf 5077

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085

This theorem is referenced by:  f0dom0  5274  mapdm0  6511  map0e  6534