Theorem f0bi 5529

Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f0bi	⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Proof of Theorem f0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5482	. . 3 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 Fn ∅)
2		fn0 5452	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 → 𝐹 = ∅)
4		f0 5527	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶𝑋
5		feq1 5465	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ ∅:∅⟶𝑋))
6	4, 5	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶𝑋)
7	3, 6	impbii 126	1 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ 𝐹 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∅c0 3494   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330

This theorem is referenced by:  f0dom0  5530  mapdm0  6831  map0e  6854  griedg0ssusgr  16101  gsumgfsum  16684