ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f0bi GIF version

Theorem f0bi 5403
Description: A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
f0bi (𝐹:∅⟶𝑋𝐹 = ∅)

Proof of Theorem f0bi
StepHypRef Expression
1 ffn 5360 . . 3 (𝐹:∅⟶𝑋𝐹 Fn ∅)
2 fn0 5330 . . 3 (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
31, 2sylib 122 . 2 (𝐹:∅⟶𝑋𝐹 = ∅)
4 f0 5401 . . 3 ∅:∅⟶𝑋
5 feq1 5343 . . 3 (𝐹 = ∅ → (𝐹:∅⟶𝑋 ↔ ∅:∅⟶𝑋))
64, 5mpbiri 168 . 2 (𝐹 = ∅ → 𝐹:∅⟶𝑋)
73, 6impbii 126 1 (𝐹:∅⟶𝑋𝐹 = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1353  c0 3422   Fn wfn 5206  wf 5207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215
This theorem is referenced by:  f0dom0  5404  mapdm0  6656  map0e  6679
  Copyright terms: Public domain W3C validator