Theorem f0dom0 5469

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	|- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5409	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y <-> F : (/) --> Y ) )
2		f0bi 5468	. . . . 5 |- ( F : (/) --> Y <-> F = (/) )
3	2	biimpi 120	. . . 4 |- ( F : (/) --> Y -> F = (/) )
4	1, 3	biimtrdi 163	. . 3 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y -> F = (/) ) )
5	4	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) -> F = (/) ) )
6		feq1 5408	. . . 4 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y <-> (/) : X --> Y ) )
7		fdm 5431	. . . . 5 |- ( (/) : X --> Y -> dom (/) = X )
8		dm0 4892	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
9	7, 8	eqtr3di 2253	. . . 4 |- ( (/) : X --> Y -> X = (/) )
10	6, 9	biimtrdi 163	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y -> X = (/) ) )
11	10	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( F = (/) -> X = (/) ) )
12	5, 11	impbid 129	1 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   (/)c0 3460   dom cdm 4675   -->wf 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275

This theorem is referenced by: (None)