Theorem f0dom0 5204

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	|- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5146	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y <-> F : (/) --> Y ) )
2		f0bi 5203	. . . . 5 |- ( F : (/) --> Y <-> F = (/) )
3	2	biimpi 118	. . . 4 |- ( F : (/) --> Y -> F = (/) )
4	1, 3	syl6bi 161	. . 3 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y -> F = (/) ) )
5	4	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) -> F = (/) ) )
6		feq1 5145	. . . 4 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y <-> (/) : X --> Y ) )
7		dm0 4650	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
8		fdm 5166	. . . . 5 |- ( (/) : X --> Y -> dom (/) = X )
9	7, 8	syl5reqr 2135	. . . 4 |- ( (/) : X --> Y -> X = (/) )
10	6, 9	syl6bi 161	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y -> X = (/) ) )
11	10	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( F = (/) -> X = (/) ) )
12	5, 11	impbid 127	1 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1289   (/)c0 3286   dom cdm 4438   -->wf 5011

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019

This theorem is referenced by: (None)