Theorem f0dom0 5381

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	|- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5321	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y <-> F : (/) --> Y ) )
2		f0bi 5380	. . . . 5 |- ( F : (/) --> Y <-> F = (/) )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( F : (/) --> Y -> F = (/) )
4	1, 3	syl6bi 162	. . 3 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y -> F = (/) ) )
5	4	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) -> F = (/) ) )
6		feq1 5320	. . . 4 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y <-> (/) : X --> Y ) )
7		fdm 5343	. . . . 5 |- ( (/) : X --> Y -> dom (/) = X )
8		dm0 4818	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
9	7, 8	eqtr3di 2214	. . . 4 |- ( (/) : X --> Y -> X = (/) )
10	6, 9	syl6bi 162	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y -> X = (/) ) )
11	10	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( F = (/) -> X = (/) ) )
12	5, 11	impbid 128	1 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   (/)c0 3409   dom cdm 4604   -->wf 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192

This theorem is referenced by: (None)