Theorem f0dom0 5324

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	|- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5264	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y <-> F : (/) --> Y ) )
2		f0bi 5323	. . . . 5 |- ( F : (/) --> Y <-> F = (/) )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( F : (/) --> Y -> F = (/) )
4	1, 3	syl6bi 162	. . 3 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y -> F = (/) ) )
5	4	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) -> F = (/) ) )
6		feq1 5263	. . . 4 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y <-> (/) : X --> Y ) )
7		dm0 4761	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
8		fdm 5286	. . . . 5 |- ( (/) : X --> Y -> dom (/) = X )
9	7, 8	syl5reqr 2188	. . . 4 |- ( (/) : X --> Y -> X = (/) )
10	6, 9	syl6bi 162	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y -> X = (/) ) )
11	10	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( F = (/) -> X = (/) ) )
12	5, 11	impbid 128	1 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   (/)c0 3368   dom cdm 4547   -->wf 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135

This theorem is referenced by: (None)