Theorem f0dom0 5365

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	|- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5305	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y <-> F : (/) --> Y ) )
2		f0bi 5364	. . . . 5 |- ( F : (/) --> Y <-> F = (/) )
3	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( F : (/) --> Y -> F = (/) )
4	1, 3	syl6bi 162	. . 3 |- ( X = (/) -> ( F : X --> Y -> F = (/) ) )
5	4	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) -> F = (/) ) )
6		feq1 5304	. . . 4 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y <-> (/) : X --> Y ) )
7		fdm 5327	. . . . 5 |- ( (/) : X --> Y -> dom (/) = X )
8		dm0 4802	. . . . 5 |- dom (/) = (/)
9	7, 8	eqtr3di 2205	. . . 4 |- ( (/) : X --> Y -> X = (/) )
10	6, 9	syl6bi 162	. . 3 |- ( F = (/) -> ( F : X --> Y -> X = (/) ) )
11	10	com12 30	. 2 |- ( F : X --> Y -> ( F = (/) -> X = (/) ) )
12	5, 11	impbid 128	1 |- ( F : X --> Y -> ( X = (/) <-> F = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   (/)c0 3395   dom cdm 4588   -->wf 5168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176

This theorem is referenced by: (None)