Theorem map0e 6682

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	|- ( A e. V -> ( A ^m (/) ) = 1o )

Proof of Theorem map0e

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4129	. . . 4 |- (/) e. _V
2		elmapg 6657	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( f e. ( A ^m (/) ) <-> f : (/) --> A ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> ( f e. ( A ^m (/) ) <-> f : (/) --> A ) )
4		f0bi 5406	. . . 4 |- ( f : (/) --> A <-> f = (/) )
5		el1o 6434	. . . 4 |- ( f e. 1o <-> f = (/) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . 3 |- ( f : (/) --> A <-> f e. 1o )
7	3, 6	bitrdi 196	. 2 |- ( A e. V -> ( f e. ( A ^m (/) ) <-> f e. 1o ) )
8	7	eqrdv 2175	1 |- ( A e. V -> ( A ^m (/) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   (/)c0 3422   -->wf 5210  (class class class)co 5871   1oc1o 6406   ^m cmap 6644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-suc 4370  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1o 6413  df-map 6646

This theorem is referenced by: (None)