Theorem map0e 6740

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	|- ( A e. V -> ( A ^m (/) ) = 1o )

Proof of Theorem map0e

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4156	. . . 4 |- (/) e. _V
2		elmapg 6715	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( f e. ( A ^m (/) ) <-> f : (/) --> A ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. V -> ( f e. ( A ^m (/) ) <-> f : (/) --> A ) )
4		f0bi 5446	. . . 4 |- ( f : (/) --> A <-> f = (/) )
5		el1o 6490	. . . 4 |- ( f e. 1o <-> f = (/) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . 3 |- ( f : (/) --> A <-> f e. 1o )
7	3, 6	bitrdi 196	. 2 |- ( A e. V -> ( f e. ( A ^m (/) ) <-> f e. 1o ) )
8	7	eqrdv 2191	1 |- ( A e. V -> ( A ^m (/) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   -->wf 5250  (class class class)co 5918   1oc1o 6462   ^m cmap 6702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-map 6704

This theorem is referenced by: (None)