ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f0dom0 GIF version

Theorem f0dom0 5188
Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
f0dom0 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem f0dom0
StepHypRef Expression
1 feq2 5132 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝐹:∅⟶𝑌))
2 f0bi 5187 . . . . 5 (𝐹:∅⟶𝑌𝐹 = ∅)
32biimpi 118 . . . 4 (𝐹:∅⟶𝑌𝐹 = ∅)
41, 3syl6bi 161 . . 3 (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝐹 = ∅))
54com12 30 . 2 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ → 𝐹 = ∅))
6 feq1 5131 . . . 4 (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌 ↔ ∅:𝑋𝑌))
7 dm0 4638 . . . . 5 dom ∅ = ∅
8 fdm 5152 . . . . 5 (∅:𝑋𝑌 → dom ∅ = 𝑋)
97, 8syl5reqr 2135 . . . 4 (∅:𝑋𝑌𝑋 = ∅)
106, 9syl6bi 161 . . 3 (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋𝑌𝑋 = ∅))
1110com12 30 . 2 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝐹 = ∅ → 𝑋 = ∅))
125, 11impbid 127 1 (𝐹:𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1289  c0 3284  dom cdm 4428  wf 4998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator