Theorem f0dom0 5518

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5456	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∅⟶𝑌))
2		f0bi 5517	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 ↔ 𝐹 = ∅)
3	2	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 → 𝐹 = ∅)
4	1, 3	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 = ∅))
5	4	com12 30	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ → 𝐹 = ∅))
6		feq1 5455	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ ∅:𝑋⟶𝑌))
7		fdm 5478	. . . . 5 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → dom ∅ = 𝑋)
8		dm0 4936	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr3di 2277	. . . 4 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅)
10	6, 9	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅))
11	10	com12 30	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝐹 = ∅ → 𝑋 = ∅))
12	5, 11	impbid 129	1 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∅c0 3491  dom cdm 4718  ⟶wf 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321

This theorem is referenced by:  pfxn0  11215