Theorem f0dom0 5566

Description: A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f0dom0	⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem f0dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq2 5497	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ 𝐹:∅⟶𝑌))
2		f0bi 5565	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 ↔ 𝐹 = ∅)
3	2	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐹:∅⟶𝑌 → 𝐹 = ∅)
4	1, 3	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝐹 = ∅))
5	4	com12 30	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ → 𝐹 = ∅))
6		feq1 5496	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ↔ ∅:𝑋⟶𝑌))
7		fdm 5519	. . . . 5 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → dom ∅ = 𝑋)
8		dm0 4975	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr3di 2282	. . . 4 ⊢ (∅:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅)
10	6, 9	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝑌 → 𝑋 = ∅))
11	10	com12 30	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝐹 = ∅ → 𝑋 = ∅))
12	5, 11	impbid 129	1 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → (𝑋 = ∅ ↔ 𝐹 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∅c0 3512  dom cdm 4754  ⟶wf 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361

This theorem is referenced by:  pfxn0  11405