ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 GIF version

Theorem f1ococnv1 5445
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 5419 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝐹)
2 dfrel2 5038 . . . 4 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
31, 2sylib 121 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 = 𝐹)
43coeq2d 4750 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐹))
5 f1ocnv 5429 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
6 f1ococnv2 5443 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
75, 6syl 14 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
84, 7eqtr3d 2192 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1335   I cid 4250  ccnv 4587  cres 4590  ccom 4592  Rel wrel 4593  1-1-ontowf1o 5171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5446  f1ocnvfv1  5729  fcof1o  5741  mapen  6793  hashfacen  10718
  Copyright terms: Public domain W3C validator