Theorem f1ocnvfv1 5570

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 5295	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2	1	fveq1d 5320	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( ( _I |` A ) ` C ) )
3	2	adantr 271	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( ( _I |` A ) ` C ) )
4		f1of 5266	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
5		fvco3 5388	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
6	4, 5	sylan 278	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
7		fvresi 5504	. . 3 |- ( C e. A -> ( ( _I |` A ) ` C ) = C )
8	7	adantl 272	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( _I |` A ) ` C ) = C )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2129	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   _I cid 4124   `'ccnv 4450   |` cres 4453   o. ccom 4455   -->wf 5024   -1-1-onto->wf1o 5027   ` cfv 5028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5572  iseqf1olemab  9972  cnrecnv  10398