ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Unicode version

Theorem f1ocnvfv1 5646
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5364 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
21fveq1d 5391 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( `' F  o.  F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  A ) `  C
) )
32adantr 274 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  C ) )
4 f1of 5335 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
5 fvco3 5460 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
64, 5sylan 281 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
7 fvresi 5581 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
87adantl 275 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( (  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
93, 6, 83eqtr3d 2158 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465    _I cid 4180   `'ccnv 4508    |` cres 4511    o. ccom 4513   -->wf 5089   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5648  caseinl  6944  caseinr  6945  ctssdccl  6964  iseqf1olemab  10230  cnrecnv  10650  ennnfonelemhf1o  11853  ennnfonelemex  11854  ennnfonelemrn  11859  ctinfomlemom  11867  isomninnlem  13152
  Copyright terms: Public domain W3C validator