Theorem f1ocnvfv1 5846

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 5551	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2	1	fveq1d 5578	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( ( _I |` A ) ` C ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( ( _I |` A ) ` C ) )
4		f1of 5522	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
5		fvco3 5650	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
7		fvresi 5777	. . 3 |- ( C e. A -> ( ( _I |` A ) ` C ) = C )
8	7	adantl 277	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( _I |` A ) ` C ) = C )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2246	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _I cid 4335   `'ccnv 4674   |` cres 4677   o. ccom 4679   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5848  caseinl  7193  caseinr  7194  ctssdccl  7213  cc3  7380  iseqf1olemab  10647  cnrecnv  11221  fprodssdc  11901  nninfctlemfo  12361  ennnfonelemhf1o  12784  ennnfonelemex  12785  ennnfonelemrn  12790  ctinfomlemom  12798  ssnnctlemct  12817  mhmf1o  13302  isomninnlem  15969  iswomninnlem  15988  ismkvnnlem  15991