Theorem f1ocnvfv1 5901

Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv1	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv1 5601	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2	1	fveq1d 5629	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( ( _I |` A ) ` C ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( ( _I |` A ) ` C ) )
4		f1of 5572	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
5		fvco3 5705	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
6	4, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( `' F o. F ) ` C ) = ( `' F ` ( F ` C ) ) )
7		fvresi 5832	. . 3 |- ( C e. A -> ( ( _I |` A ) ` C ) = C )
8	7	adantl 277	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( ( _I |` A ) ` C ) = C )
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2270	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. A ) -> ( `' F ` ( F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _I cid 4379   `'ccnv 4718   |` cres 4721   o. ccom 4723   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5903  caseinl  7258  caseinr  7259  ctssdccl  7278  cc3  7454  iseqf1olemab  10724  cnrecnv  11421  fprodssdc  12101  nninfctlemfo  12561  ennnfonelemhf1o  12984  ennnfonelemex  12985  ennnfonelemrn  12990  ctinfomlemom  12998  ssnnctlemct  13017  mhmf1o  13503  isomninnlem  16398  iswomninnlem  16417  ismkvnnlem  16420