Theorem f1ocnv 5605

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5435	. . . . 5 |- ( F Fn A -> Rel F )
2		dfrel2 5194	. . . . . 6 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3		fneq1 5425	. . . . . . 7 |- ( `' `' F = F -> ( `' `' F Fn A <-> F Fn A ) )
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( `' `' F = F -> ( F Fn A -> `' `' F Fn A ) )
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( F Fn A -> `' `' F Fn A ) )
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 |- ( F Fn A -> `' `' F Fn A )
7	6	anim2i 342	. . 3 |- ( ( `' F Fn B /\ F Fn A ) -> ( `' F Fn B /\ `' `' F Fn A ) )
8	7	ancoms 268	. 2 |- ( ( F Fn A /\ `' F Fn B ) -> ( `' F Fn B /\ `' `' F Fn A ) )
9		dff1o4 5600	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F Fn A /\ `' F Fn B ) )
10		dff1o4 5600	. 2 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A <-> ( `' F Fn B /\ `' `' F Fn A ) )
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   `'ccnv 4730   Rel wrel 4736   Fn wfn 5328   -1-1-onto->wf1o 5332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5606  f1orescnv  5608  f1imacnv  5609  f1cnv  5616  f1ococnv1  5621  f1oresrab  5820  f1ocnvfv2  5929  f1ocnvdm  5932  f1ocnvfvrneq  5933  fcof1o  5940  isocnv  5962  f1ofveu  6016  mapsnf1o3  6909  ener  6996  en0  7012  en1  7016  en2  7041  mapen  7075  ssenen  7080  preimaf1ofi  7193  ordiso2  7294  caseinl  7350  caseinr  7351  ctssdccl  7370  ctssdclemr  7371  enomnilem  7397  enmkvlem  7420  enwomnilem  7428  cc3  7547  fnn0nninf  10763  0tonninf  10765  1tonninf  10766  iseqf1olemkle  10822  iseqf1olemklt  10823  iseqf1olemqcl  10824  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemmo  10830  iseqf1olemqk  10832  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seq3f1olemstep  10839  seqf1oglem1  10844  seqf1oglem2  10845  hashfz1  11108  hashfacen  11163  seq3coll  11169  cnrecnv  11550  nnf1o  12017  summodclem3  12021  summodclem2a  12022  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  fprodssdc  12231  sqpweven  12827  2sqpwodd  12828  phimullem  12877  eulerthlemh  12883  1arith2  13021  xpnnen  13095  ennnfonelemjn  13103  ennnfonelemp1  13107  ennnfonelemhdmp1  13110  ennnfonelemss  13111  ennnfonelemkh  13113  ennnfonelemhf1o  13114  ennnfonelemex  13115  ennnfonelemf1  13119  ennnfonelemnn0  13123  ennnfonelemim  13125  ctinfomlemom  13128  ctiunctlemfo  13140  ssnnctlemct  13147  mhmf1o  13633  ghmf1o  13942  gsumfzreidx  14004  znleval  14749  txhmeo  15130  dfrelog  15671  relogf1o  15672  012of  16713  domomsubct  16723  exmidsbthrlem  16750  iswomninnlem  16782  gfsumval  16809