Theorem f1oeq3 5366

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq3	|- ( A = B -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : C -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq3 5333	. . 3 |- ( A = B -> ( F : C -1-1-> A <-> F : C -1-1-> B ) )
2		foeq3 5351	. . 3 |- ( A = B -> ( F : C -onto-> A <-> F : C -onto-> B ) )
3	1, 2	anbi12d 465	. 2 |- ( A = B -> ( ( F : C -1-1-> A /\ F : C -onto-> A ) <-> ( F : C -1-1-> B /\ F : C -onto-> B ) ) )
4		df-f1o 5138	. 2 |- ( F : C -1-1-onto-> A <-> ( F : C -1-1-> A /\ F : C -onto-> A ) )
5		df-f1o 5138	. 2 |- ( F : C -1-1-onto-> B <-> ( F : C -1-1-> B /\ F : C -onto-> B ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 222	1 |- ( A = B -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : C -1-1-onto-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   -1-1->wf1 5128   -onto->wfo 5129   -1-1-onto->wf1o 5130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-in 3082  df-ss 3089  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138

This theorem is referenced by:  f1oeq23  5367  f1oeq123d  5370  f1oeq3d  5372  f1ores  5390  resdif  5397  f1osng  5416  f1oresrab  5593  isoeq5  5714  isoini2  5728  mapsnf1o  6639  bren  6649  xpcomf1o  6727  frechashgf1o  10232  sumeq1  11156  fisumss  11193  fsumcnv  11238  prodeq1f  11353  ennnfonelemhf1o  11962  ennnfonelemex  11963