Theorem f1oeq3 5629

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq3	|- ( A = B -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : C -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq3 5595	. . 3 |- ( A = B -> ( F : C -1-1-> A <-> F : C -1-1-> B ) )
2		foeq3 5613	. . 3 |- ( A = B -> ( F : C -onto-> A <-> F : C -onto-> B ) )
3	1, 2	anbi12d 477	. 2 |- ( A = B -> ( ( F : C -1-1-> A /\ F : C -onto-> A ) <-> ( F : C -1-1-> B /\ F : C -onto-> B ) ) )
4		df-f1o 5384	. 2 |- ( F : C -1-1-onto-> A <-> ( F : C -1-1-> A /\ F : C -onto-> A ) )
5		df-f1o 5384	. 2 |- ( F : C -1-1-onto-> B <-> ( F : C -1-1-> B /\ F : C -onto-> B ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : C -1-1-onto-> B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   -1-1->wf1 5374   -onto->wfo 5375   -1-1-onto->wf1o 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384

This theorem is used by:  f1oeq23  5630  f1oeq123d  5633  f1oeq3d  5636  f1ores  5654  resdif  5661  f1osng  5682  f1oresrab  5873  isoeq5  6011  isoini2  6025  rinvf1o  6035  mapsnf1o  7019  breng  7029  bren  7030  xpcomf1o  7123  frechashgf1o  10865  sumeq1  12121  fisumss  12159  fsumcnv  12204  prodeq1f  12319  4sqlem11  13180  ennnfonelemhf1o  13304  ennnfonelemex  13305  ssnnctlemct  13337  uspgredgiedg  16419