Theorem mapsnf1o 6884

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	|- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	|- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, A   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )
2	1	ixpsnf1o 6883	. . 3 |- ( I e. W -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
4		snexg 4268	. . . 4 |- ( I e. W -> { I } e. _V )
5		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> A e. V )
6		ixpconstg 6854	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> X_ y e. { I } A = ( A ^m { I } ) )
7	6	eqcomd 2235	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
8	4, 5, 7	syl2an2 596	. . 3 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
9		f1oeq3 5562	. . 3 |- ( ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
11	3, 10	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   -1-1-onto->wf1o 5317  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795   X_cixp 6845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-map 6797  df-ixp 6846

This theorem is referenced by:  pwssnf1o  13331