Theorem mapsnf1o 6715

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	|- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	|- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, A   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )
2	1	ixpsnf1o 6714	. . 3 |- ( I e. W -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
4		snexg 4170	. . . 4 |- ( I e. W -> { I } e. _V )
5		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> A e. V )
6		ixpconstg 6685	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> X_ y e. { I } A = ( A ^m { I } ) )
7	6	eqcomd 2176	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
8	4, 5, 7	syl2an2 589	. . 3 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
9		f1oeq3 5433	. . 3 |- ( ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
11	3, 10	mpbird 166	1 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   -1-1-onto->wf1o 5197  (class class class)co 5853   ^m cmap 6626   X_cixp 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628  df-ixp 6677

This theorem is referenced by: (None)