ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o Unicode version

Theorem mapsnf1o 6637
Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ixpsnf1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( { I }  X.  { x } ) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o  |-  ( ( A  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F : A -1-1-onto-> ( A  ^m  { I }
) )
Distinct variable groups:    x, I    x, A    x, V    x, W
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mapsnf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpsnf1o.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( { I }  X.  { x } ) )
21ixpsnf1o 6636 . . 3  |-  ( I  e.  W  ->  F : A -1-1-onto-> X_ y  e.  {
I } A )
32adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F : A -1-1-onto-> X_ y  e.  { I } A
)
4 snexg 4114 . . . 4  |-  ( I  e.  W  ->  { I }  e.  _V )
5 simpl 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  A  e.  V )
6 ixpconstg 6607 . . . . 5  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  A  e.  V
)  ->  X_ y  e. 
{ I } A  =  ( A  ^m  { I } ) )
76eqcomd 2146 . . . 4  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  A  e.  V
)  ->  ( A  ^m  { I } )  =  X_ y  e.  {
I } A )
84, 5, 7syl2an2 584 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( A  ^m  {
I } )  = 
X_ y  e.  {
I } A )
9 f1oeq3 5364 . . 3  |-  ( ( A  ^m  { I } )  =  X_ y  e.  { I } A  ->  ( F : A -1-1-onto-> ( A  ^m  {
I } )  <->  F : A
-1-1-onto-> X_ y  e.  { I } A ) )
108, 9syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  ( F : A -1-1-onto-> ( A  ^m  { I }
)  <->  F : A -1-1-onto-> X_ y  e.  { I } A
) )
113, 10mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  F : A -1-1-onto-> ( A  ^m  { I }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3530    |-> cmpt 3995    X. cxp 4543   -1-1-onto->wf1o 5128  (class class class)co 5780    ^m cmap 6548   X_cixp 6598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-map 6550  df-ixp 6599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator