Theorem mapsnf1o 6737

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	|- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	|- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, A   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )
2	1	ixpsnf1o 6736	. . 3 |- ( I e. W -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
4		snexg 4185	. . . 4 |- ( I e. W -> { I } e. _V )
5		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> A e. V )
6		ixpconstg 6707	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> X_ y e. { I } A = ( A ^m { I } ) )
7	6	eqcomd 2183	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
8	4, 5, 7	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
9		f1oeq3 5452	. . 3 |- ( ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
11	3, 10	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {csn 3593   |-> cmpt 4065   X. cxp 4625   -1-1-onto->wf1o 5216  (class class class)co 5875   ^m cmap 6648   X_cixp 6698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-map 6650  df-ixp 6699

This theorem is referenced by: (None)