Theorem mapsnf1o 6793

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	|- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	|- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, A   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )
2	1	ixpsnf1o 6792	. . 3 |- ( I e. W -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
4		snexg 4214	. . . 4 |- ( I e. W -> { I } e. _V )
5		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> A e. V )
6		ixpconstg 6763	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> X_ y e. { I } A = ( A ^m { I } ) )
7	6	eqcomd 2199	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
8	4, 5, 7	syl2an2 594	. . 3 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
9		f1oeq3 5491	. . 3 |- ( ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
11	3, 10	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   |-> cmpt 4091   X. cxp 4658   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   X_cixp 6754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-ixp 6755

This theorem is referenced by: (None)