Theorem mapsnf1o 7019

Description: A bijection between a set and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f	|- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o	|- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

Distinct variable groups:   x, I   x, A   x, V   x, W

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mapsnf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) )
2	1	ixpsnf1o 7018	. . 3 |- ( I e. W -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A )
4		snexg 4321	. . . 4 |- ( I e. W -> { I } e. _V )
5		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> A e. V )
6		ixpconstg 6989	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> X_ y e. { I } A = ( A ^m { I } ) )
7	6	eqcomd 2244	. . . 4 |- ( ( { I } e. _V /\ A e. V ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
8	4, 5, 7	syl2an2 602	. . 3 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A )
9		f1oeq3 5629	. . 3 |- ( ( A ^m { I } ) = X_ y e. { I } A -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> ( F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) <-> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) )
11	3, 10	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ I e. W ) -> F : A -1-1-onto-> ( A ^m { I } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   -1-1-onto->wf1o 5376  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   X_cixp 6980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-ixp 6981

This theorem is used by:  pwssnf1o  14211