Theorem f1oresrab 5812

Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1oresrab.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1oresrab.2	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
f1oresrab	|- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   ph, x, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   C( x)   F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oresrab.2	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofun 5585	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
3		funcnvcnv 5389	. . . 4 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun `' `' F )
5		f1ocnv 5596	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F : B -1-1-onto-> A )
7		f1of1 5582	. . . . . 6 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
9		ssrab2 3312	. . . . 5 |- { y e. B | ch } C_ B
10		f1ores 5598	. . . . 5 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ { y e. B | ch } C_ B ) -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
12		f1oresrab.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. A |-> C )
13	12	mptpreima 5230	. . . . . 6 |- ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | C e. { y e. B | ch } }
14		f1oresrab.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )
15	14	3expia 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
16	15	alrimiv 1922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
17		f1of 5583	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> B )
19	12	fmpt 5797	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
20	18, 19	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
21	20	r19.21bi 2620	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
22		elrab3t 2961	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) /\ C e. B ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
24	23	rabbidva 2790	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | C e. { y e. B | ch } } = { x e. A | ps } )
25	13, 24	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } )
26		f1oeq3 5573	. . . . 5 |- ( ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
28	11, 27	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } )
29		f1orescnv 5599	. . 3 |- ( ( Fun `' `' F /\ ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
30	4, 28, 29	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
31		rescnvcnv 5199	. . 3 |- ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } )
32		f1oeq1 5571	. . 3 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } ) -> ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. 2 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
34	30, 33	sylib 122	1 |- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   A.wal 1395   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   C_ wss 3200   |-> cmpt 4150   `'ccnv 4724   |` cres 4727   "cima 4728   Fun wfun 5320   -->wf 5322   -1-1->wf1 5323   -1-1-onto->wf1o 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by: (None)