Theorem f1oresrab 5820

Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1oresrab.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1oresrab.2	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
f1oresrab	|- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   ph, x, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   C( x)   F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oresrab.2	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofun 5594	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
3		funcnvcnv 5396	. . . 4 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun `' `' F )
5		f1ocnv 5605	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F : B -1-1-onto-> A )
7		f1of1 5591	. . . . . 6 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
9		ssrab2 3313	. . . . 5 |- { y e. B | ch } C_ B
10		f1ores 5607	. . . . 5 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ { y e. B | ch } C_ B ) -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
12		f1oresrab.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. A |-> C )
13	12	mptpreima 5237	. . . . . 6 |- ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | C e. { y e. B | ch } }
14		f1oresrab.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )
15	14	3expia 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
16	15	alrimiv 1922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
17		f1of 5592	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> B )
19	12	fmpt 5805	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
20	18, 19	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
21	20	r19.21bi 2621	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
22		elrab3t 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) /\ C e. B ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
24	23	rabbidva 2791	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | C e. { y e. B | ch } } = { x e. A | ps } )
25	13, 24	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } )
26		f1oeq3 5582	. . . . 5 |- ( ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
28	11, 27	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } )
29		f1orescnv 5608	. . 3 |- ( ( Fun `' `' F /\ ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
30	4, 28, 29	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
31		rescnvcnv 5206	. . 3 |- ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } )
32		f1oeq1 5580	. . 3 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } ) -> ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. 2 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
34	30, 33	sylib 122	1 |- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   C_ wss 3201   |-> cmpt 4155   `'ccnv 4730   |` cres 4733   "cima 4734   Fun wfun 5327   -->wf 5329   -1-1->wf1 5330   -1-1-onto->wf1o 5332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341

This theorem is referenced by: (None)