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Theorem f1oresrab 5551
Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
f1oresrab.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1oresrab.2  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  C )  ->  ( ch  <->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
f1oresrab  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } ) : {
x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y, C    ph, x, y    ps, y    ch, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    C( x)    F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab
StepHypRef Expression
1 f1oresrab.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> B )
2 f1ofun 5335 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Fun  F )
3 funcnvcnv 5150 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
41, 2, 33syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  `' `' F
)
5 f1ocnv 5346 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
61, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
7 f1of1 5332 . . . . . 6  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B -1-1-> A
)
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' F : B -1-1-> A
)
9 ssrab2 3150 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  ch }  C_  B
10 f1ores 5348 . . . . 5  |-  ( ( `' F : B -1-1-> A  /\  { y  e.  B  |  ch }  C_  B
)  ->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch }
) : { y  e.  B  |  ch }
-1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } ) )
118, 9, 10sylancl 407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } ) )
12 f1oresrab.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
1312mptpreima 5000 . . . . . 6  |-  ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  =  {
x  e.  A  |  C  e.  { y  e.  B  |  ch } }
14 f1oresrab.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  C )  ->  ( ch  <->  ps ) )
15143expia 1166 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  =  C  -> 
( ch  <->  ps )
) )
1615alrimiv 1828 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y
( y  =  C  ->  ( ch  <->  ps )
) )
17 f1of 5333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
181, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1912fmpt 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
2018, 19sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
2120r19.21bi 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
22 elrab3t 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y ( y  =  C  ->  ( ch 
<->  ps ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( C  e.  {
y  e.  B  |  ch }  <->  ps ) )
2316, 21, 22syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  { y  e.  B  |  ch } 
<->  ps ) )
2423rabbidva 2646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  { y  e.  B  |  ch } }  =  {
x  e.  A  |  ps } )
2513, 24syl5eq 2160 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  =  { x  e.  A  |  ps } )
26 f1oeq3 5326 . . . . 5  |-  ( ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  =  {
x  e.  A  |  ps }  ->  ( ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : {
y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  <->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch }
) : { y  e.  B  |  ch }
-1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } ) )
2725, 26syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F  |` 
{ y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  <->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch }
) : { y  e.  B  |  ch }
-1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } ) )
2811, 27mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } )
29 f1orescnv 5349 . . 3  |-  ( ( Fun  `' `' F  /\  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } )  -> 
( `' `' F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
304, 28, 29syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' `' F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
31 rescnvcnv 4969 . . 3  |-  ( `' `' F  |`  { x  e.  A  |  ps } )  =  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } )
32 f1oeq1 5324 . . 3  |-  ( ( `' `' F  |`  { x  e.  A  |  ps } )  =  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } )  ->  (
( `' `' F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch }  <->  ( F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } ) )
3331, 32ax-mp 5 . 2  |-  ( ( `' `' F  |`  { x  e.  A  |  ps } ) : {
x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch }  <->  ( F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
3430, 33sylib 121 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } ) : {
x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   {crab 2395    C_ wss 3039    |-> cmpt 3957   `'ccnv 4506    |` cres 4509   "cima 4510   Fun wfun 5085   -->wf 5087   -1-1->wf1 5088   -1-1-onto->wf1o 5090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
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