Theorem f1oresrab 5463

Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1oresrab.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1oresrab.2	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
f1oresrab	|- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   ph, x, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   C( x)   F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oresrab.2	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofun 5255	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
3		funcnvcnv 5073	. . . 4 |- ( Fun F -> Fun `' `' F )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun `' `' F )
5		f1ocnv 5266	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F : B -1-1-onto-> A )
7		f1of1 5252	. . . . . 6 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B -1-1-> A )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> `' F : B -1-1-> A )
9		ssrab2 3106	. . . . 5 |- { y e. B | ch } C_ B
10		f1ores 5268	. . . . 5 |- ( ( `' F : B -1-1-> A /\ { y e. B | ch } C_ B ) -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
11	8, 9, 10	sylancl 404	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) )
12		f1oresrab.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. A |-> C )
13	12	mptpreima 4924	. . . . . 6 |- ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | C e. { y e. B | ch } }
14		f1oresrab.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = C ) -> ( ch <-> ps ) )
15	14	3expia 1145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
16	15	alrimiv 1802	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) )
17		f1of 5253	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> B )
19	12	fmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
20	18, 19	sylibr 132	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
21	20	r19.21bi 2461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
22		elrab3t 2770	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y ( y = C -> ( ch <-> ps ) ) /\ C e. B ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C e. { y e. B | ch } <-> ps ) )
24	23	rabbidva 2607	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. A | C e. { y e. B | ch } } = { x e. A | ps } )
25	13, 24	syl5eq 2132	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } )
26		f1oeq3 5246	. . . . 5 |- ( ( `' F " { y e. B | ch } ) = { x e. A | ps } -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y e. B | ch } ) <-> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) )
28	11, 27	mpbid 145	. . 3 |- ( ph -> ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } )
29		f1orescnv 5269	. . 3 |- ( ( Fun `' `' F /\ ( `' F |` { y e. B | ch } ) : { y e. B | ch } -1-1-onto-> { x e. A | ps } ) -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
30	4, 28, 29	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
31		rescnvcnv 4893	. . 3 |- ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } )
32		f1oeq1 5244	. . 3 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) = ( F |` { x e. A | ps } ) -> ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } ) )
33	31, 32	ax-mp 7	. 2 |- ( ( `' `' F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } <-> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
34	30, 33	sylib 120	1 |- ( ph -> ( F |` { x e. A | ps } ) : { x e. A | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   A.wal 1287   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363   C_ wss 2999   |-> cmpt 3899   `'ccnv 4437   |` cres 4440   "cima 4441   Fun wfun 5009   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012   -1-1-onto->wf1o 5014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023

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