ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1oresrab Unicode version

Theorem f1oresrab 5682
Description: Build a bijection between restricted abstract builders, given a bijection between the base classes, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
f1oresrab.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1oresrab.2  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> B )
f1oresrab.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  C )  ->  ( ch  <->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
f1oresrab  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } ) : {
x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y, C    ph, x, y    ps, y    ch, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    C( x)    F( x, y)

Proof of Theorem f1oresrab
StepHypRef Expression
1 f1oresrab.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> B )
2 f1ofun 5464 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Fun  F )
3 funcnvcnv 5276 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
41, 2, 33syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  `' `' F
)
5 f1ocnv 5475 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
61, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
7 f1of1 5461 . . . . . 6  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B -1-1-> A
)
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' F : B -1-1-> A
)
9 ssrab2 3241 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  ch }  C_  B
10 f1ores 5477 . . . . 5  |-  ( ( `' F : B -1-1-> A  /\  { y  e.  B  |  ch }  C_  B
)  ->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch }
) : { y  e.  B  |  ch }
-1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } ) )
118, 9, 10sylancl 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } ) )
12 f1oresrab.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
1312mptpreima 5123 . . . . . 6  |-  ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  =  {
x  e.  A  |  C  e.  { y  e.  B  |  ch } }
14 f1oresrab.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  y  =  C )  ->  ( ch  <->  ps ) )
15143expia 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
y  =  C  -> 
( ch  <->  ps )
) )
1615alrimiv 1874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y
( y  =  C  ->  ( ch  <->  ps )
) )
17 f1of 5462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
181, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1912fmpt 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
2018, 19sylibr 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
2120r19.21bi 2565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
22 elrab3t 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y ( y  =  C  ->  ( ch 
<->  ps ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( C  e.  {
y  e.  B  |  ch }  <->  ps ) )
2316, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  e.  { y  e.  B  |  ch } 
<->  ps ) )
2423rabbidva 2726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  C  e.  { y  e.  B  |  ch } }  =  {
x  e.  A  |  ps } )
2513, 24eqtrid 2222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  =  { x  e.  A  |  ps } )
26 f1oeq3 5452 . . . . 5  |-  ( ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  =  {
x  e.  A  |  ps }  ->  ( ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : {
y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  <->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch }
) : { y  e.  B  |  ch }
-1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } ) )
2725, 26syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F  |` 
{ y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> ( `' F " { y  e.  B  |  ch } )  <->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch }
) : { y  e.  B  |  ch }
-1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } ) )
2811, 27mpbid 147 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } )
29 f1orescnv 5478 . . 3  |-  ( ( Fun  `' `' F  /\  ( `' F  |`  { y  e.  B  |  ch } ) : { y  e.  B  |  ch } -1-1-onto-> { x  e.  A  |  ps } )  -> 
( `' `' F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
304, 28, 29syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' `' F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
31 rescnvcnv 5092 . . 3  |-  ( `' `' F  |`  { x  e.  A  |  ps } )  =  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } )
32 f1oeq1 5450 . . 3  |-  ( ( `' `' F  |`  { x  e.  A  |  ps } )  =  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } )  ->  (
( `' `' F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch }  <->  ( F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } ) )
3331, 32ax-mp 5 . 2  |-  ( ( `' `' F  |`  { x  e.  A  |  ps } ) : {
x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch }  <->  ( F  |` 
{ x  e.  A  |  ps } ) : { x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
3430, 33sylib 122 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  { x  e.  A  |  ps } ) : {
x  e.  A  |  ps } -1-1-onto-> { y  e.  B  |  ch } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459    C_ wss 3130    |-> cmpt 4065   `'ccnv 4626    |` cres 4629   "cima 4630   Fun wfun 5211   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   -1-1-onto->wf1o 5216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator