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Theorem sumeq1 11075
Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)

Proof of Theorem sumeq1
Dummy variables  f  m  n  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3088 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  B  C_  ( ZZ>= `  m ) ) )
2 eleq2 2179 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
j  e.  A  <->  j  e.  B ) )
32dcbid 806 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  j  e.  B )
)
43ralbidv 2412 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B ) )
5 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  B  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
65eleq2d 2185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  B  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )
76ifbid 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  B  /\  n  e.  ZZ )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
87mpteq2dva 3986 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
98seqeq3d 10177 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
109breq1d 3907 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
111, 4, 103anbi123d 1273 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( B  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
1211rexbidv 2413 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
13 f1oeq3 5326 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> B ) )
1413anbi1d 458 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
1514exbidv 1779 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
1615rexbidv 2413 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
1712, 16orbi12d 765 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
1817iotabidv 5077 . 2  |-  ( A  =  B  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x
( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
19 df-sumdc 11074 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
20 df-sumdc 11074 . 2  |-  sum_ k  e.  B  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
2118, 19, 203eqtr4g 2173 1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   [_csb 2973    C_ wss 3039   ifcif 3442   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   iotacio 5054   -1-1-onto->wf1o 5090   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    <_ cle 7765   NNcn 8680   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741    seqcseq 10169    ~~> cli 10998   sum_csu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-cnv 4515  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-iota 5056  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-recs 6168  df-frec 6254  df-seqfrec 10170  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  sumeq1i  11083  sumeq1d  11086  isumz  11109  fsumadd  11126  fsum2d  11155  fisumrev2  11166  fsummulc2  11168  fsumconst  11174  modfsummod  11178  fsumabs  11185  fsumrelem  11191  fsumiun  11197  fsumcncntop  12631
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