Theorem sumeq1 11537

Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1	|- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Proof of Theorem sumeq1

Dummy variables f m n x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3207	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2260	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> A = B )
6	5	eleq2d 2266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> ( n e. A <-> n e. B ) )
7	6	ifbid 3583	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) = if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8	7	mpteq2dva 4124	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
9	8	seqeq3d 10564	. . . . . . 7 |- ( A = B -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
10	9	breq1d 4044	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
11	1, 4, 10	3anbi123d 1323	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
12	11	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
13		f1oeq3 5497	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
15	14	exbidv 1839	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
16	15	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
17	12, 16	orbi12d 794	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
18	17	iotabidv 5242	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
19		df-sumdc 11536	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
20		df-sumdc 11536	. 2 |- sum_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
21	18, 19, 20	3eqtr4g 2254	1 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   [_csb 3084   C_ wss 3157   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   iotacio 5218   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   <_ cle 8079   NNcn 9007   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   seqcseq 10556   ~~> cli 11460   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-seqfrec 10557  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  sumeq1i  11545  sumeq1d  11548  isumz  11571  fsumadd  11588  fsum2d  11617  fisumrev2  11628  fsummulc2  11630  fsumconst  11636  modfsummod  11640  fsumabs  11647  fsumrelem  11653  fsumiun  11659  fsumcncntop  14887  dvmptfsum  15045