Theorem sumeq1 11498

Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1	|- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Proof of Theorem sumeq1

Dummy variables f m n x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2257	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> A = B )
6	5	eleq2d 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> ( n e. A <-> n e. B ) )
7	6	ifbid 3578	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) = if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8	7	mpteq2dva 4119	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
9	8	seqeq3d 10526	. . . . . . 7 |- ( A = B -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
10	9	breq1d 4039	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
11	1, 4, 10	3anbi123d 1323	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
12	11	rexbidv 2495	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
13		f1oeq3 5490	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
15	14	exbidv 1836	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
16	15	rexbidv 2495	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
17	12, 16	orbi12d 794	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
18	17	iotabidv 5237	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
19		df-sumdc 11497	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
20		df-sumdc 11497	. 2 |- sum_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
21	18, 19, 20	3eqtr4g 2251	1 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   [_csb 3080   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   iotacio 5213   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   ~~> cli 11421   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-seqfrec 10519  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  sumeq1i  11506  sumeq1d  11509  isumz  11532  fsumadd  11549  fsum2d  11578  fisumrev2  11589  fsummulc2  11591  fsumconst  11597  modfsummod  11601  fsumabs  11608  fsumrelem  11614  fsumiun  11620  fsumcncntop  14724