Theorem sumeq1 11347

Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1	|- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Proof of Theorem sumeq1

Dummy variables f m n x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2241	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 838	. . . . . . 7 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2477	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> A = B )
6	5	eleq2d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> ( n e. A <-> n e. B ) )
7	6	ifbid 3555	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) = if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8	7	mpteq2dva 4090	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
9	8	seqeq3d 10439	. . . . . . 7 |- ( A = B -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
10	9	breq1d 4010	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
11	1, 4, 10	3anbi123d 1312	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
12	11	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
13		f1oeq3 5447	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
15	14	exbidv 1825	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
16	15	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
17	12, 16	orbi12d 793	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
18	17	iotabidv 5195	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
19		df-sumdc 11346	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
20		df-sumdc 11346	. 2 |- sum_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
21	18, 19, 20	3eqtr4g 2235	1 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   iotacio 5172   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431   ~~> cli 11270   sum_csu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-recs 6300  df-frec 6386  df-seqfrec 10432  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  sumeq1i  11355  sumeq1d  11358  isumz  11381  fsumadd  11398  fsum2d  11427  fisumrev2  11438  fsummulc2  11440  fsumconst  11446  modfsummod  11450  fsumabs  11457  fsumrelem  11463  fsumiun  11469  fsumcncntop  13723