Theorem sumeq1 11995

Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumeq1	|- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Proof of Theorem sumeq1

Dummy variables f m n x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3251	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> B C_ ( ZZ>= ` m ) ) )
2		eleq2 2295	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( j e. A <-> j e. B ) )
3	2	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( A = B -> (DECID j e. A <-> DECID j e. B ) )
4	3	ralbidv 2533	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B ) )
5		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> A = B )
6	5	eleq2d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> ( n e. A <-> n e. B ) )
7	6	ifbid 3631	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = B /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) = if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
8	7	mpteq2dva 4184	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
9	8	seqeq3d 10780	. . . . . . 7 |- ( A = B -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) )
10	9	breq1d 4103	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) )
11	1, 4, 10	3anbi123d 1349	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
12	11	rexbidv 2534	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
13		f1oeq3 5582	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
15	14	exbidv 1873	. . . . 5 |- ( A = B -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
16	15	rexbidv 2534	. . . 4 |- ( A = B -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
17	12, 16	orbi12d 801	. . 3 |- ( A = B -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
18	17	iotabidv 5316	. 2 |- ( A = B -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
19		df-sumdc 11994	. 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
20		df-sumdc 11994	. 2 |- sum_ k e. B C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( B C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. B /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. B , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
21	18, 19, 20	3eqtr4g 2289	1 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   [_csb 3128   C_ wss 3201   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   iotacio 5291   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   <_ cle 8274   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   seqcseq 10772   ~~> cli 11918   sum_csu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-seqfrec 10773  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  sumeq1i  12003  sumeq1d  12006  isumz  12030  fsumadd  12047  fsum2d  12076  fisumrev2  12087  fsummulc2  12089  fsumconst  12095  modfsummod  12099  fsumabs  12106  fsumrelem  12112  fsumiun  12118  fsumcncntop  15378  dvmptfsum  15536