ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumeq1 Unicode version

Theorem sumeq1 10740
Description: Equality theorem for a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)

Proof of Theorem sumeq1
Dummy variables  f  m  n  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3047 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  B  C_  ( ZZ>= `  m ) ) )
2 eleq2 2151 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
j  e.  A  <->  j  e.  B ) )
32dcbid 786 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  j  e.  B )
)
43ralbidv 2380 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B ) )
5 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  B  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
65eleq2d 2157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  B  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  e.  A  <->  n  e.  B ) )
76ifbid 3412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  B  /\  n  e.  ZZ )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 )  =  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
87mpteq2dva 3928 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
9 iseqeq3 9856 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) )
108, 9syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) )
1110breq1d 3855 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x  <->  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) )
121, 4, 113anbi123d 1248 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) ) )
1312rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) ) )
14 f1oeq3 5246 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> B ) )
1514anbi1d 453 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <-> 
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
1615exbidv 1753 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
1716rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
1813, 17orbi12d 742 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )
1918iotabidv 5001 . 2  |-  ( A  =  B  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )
20 df-isum 10739 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
21 df-isum 10739 . 2  |-  sum_ k  e.  B  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  B  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  B ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
2219, 20, 213eqtr4g 2145 1  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   [_csb 2933    C_ wss 2999   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   iotacio 4978   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348   1c1 7349    + caddc 7351    <_ cle 7521   NNcn 8420   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422    seqcseq4 9847    ~~> cli 10662   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-iota 4980  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-iseq 9849  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  sumeq1i  10748  sumeq1d  10751  isumz  10777  fsumadd  10796  fsum2d  10825  fisumrev2  10836  fsummulc2  10838  fsumconst  10844  modfsummod  10848  fsumabs  10855  fsumrelem  10861  fsumiun  10867
  Copyright terms: Public domain W3C validator