ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumss Unicode version

Theorem fisumss 10748
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
fsumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fsumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
fisumss.adc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
fsumss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fisumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j,
k)

Proof of Theorem fisumss
Dummy variables  f  u  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumss.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 sseq0 3321 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
31, 2sylan 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
43sumeq1d 10719 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
65sumeq1d 10719 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
74, 6eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
87ex 113 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
9 cnvimass 4782 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
10 simprr 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
11 f1of 5237 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
139, 12fssdm 5160 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  C_  (
1 ... ( `  B
) ) )
1412ffnd 5148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f  Fn  ( 1 ... ( `  B
) ) )
15 elpreima 5402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1712ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
1817ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
1918adantrd 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2016, 19sylbid 148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2120imp 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
22 fsumss.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2322ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2423adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
25 eldif 3006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
26 fsumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
27 0cn 7459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
2826, 27syl6eqel 2178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
2925, 28sylan2br 282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3029expr 367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
31 eleq1w 2148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
3231dcbid 786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
33 fisumss.adc . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A
)
35 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
3632, 34, 35rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  -> DECID  k  e.  A
)
37 exmiddc 782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
3924, 30, 38mpjaod 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4039fmpttd 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4140adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4241ffvelrnda 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `
 n )  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  CC )
4321, 42syldan 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  CC )
44 eldifi 3120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
4544, 17sylan2 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
46 eldifn 3121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4746adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4816adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
4944adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
5049biantrurd 299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
f `  n )  e.  A  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
5148, 50bitr4d 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
5247, 51mtbid 632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  (
f `  n )  e.  A )
5345, 52eldifd 3007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  ( B  \  A ) )
54 difss 3124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
55 resmpt 4747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
5756fveq1i 5290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
58 fvres 5313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
5957, 58syl5eqr 2134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
6053, 59syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
61 c0ex 7461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
6261elsn2 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 0 }  <-> 
C  =  0 )
6326, 62sylibr 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 0 } )
6463fmpttd 5437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6564ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) : ( B  \  A
) --> { 0 } )
6665, 53ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  e.  { 0 } )
67 elsni 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 0 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6866, 67syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6960, 68eqtr3d 2122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
70 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( f `  u )  ->  (
j  e.  A  <->  ( f `  u )  e.  A
) )
7170dcbid 786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( f `  u )  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  ( f `  u
)  e.  A ) )
7233ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
7312ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
74 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
7573, 74ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  u )  e.  B
)
7671, 72, 75rspcdva 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
( f `  u
)  e.  A )
7710ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
78 f1ofun 5239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  Fun  f )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  Fun  f )
80 f1odm 5241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8177, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8274, 81eleqtrrd 2167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  u  e.  dom  f )
83 fvimacnv 5398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  f  /\  u  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  u )  e.  A  <->  u  e.  ( `' f
" A ) ) )
8479, 82, 83syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( ( f `
 u )  e.  A  <->  u  e.  ( `' f " A
) ) )
8584dcbid 786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  (DECID  ( f `  u
)  e.  A  <-> DECID  u  e.  ( `' f " A
) ) )
8676, 85mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
u  e.  ( `' f " A ) )
87 elpreima 5402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  <->  ( u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  u
)  e.  A ) ) )
88 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  /\  (
f `  u )  e.  A )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8987, 88syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ) )
9089con3d 596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9114, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A
) ) )
9291adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9392imp 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A
) )
9493olcd 688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  \/  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
95 df-dc 781 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  e.  ( `' f " A )  <->  ( u  e.  ( `' f " A )  \/  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9694, 95sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
u  e.  ( `' f " A ) )
97 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  ZZ )
9897adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  ZZ )
99 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ZZ )
100 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  NN )
101100nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  ZZ )
102 fzdcel 9423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( `  B )  e.  ZZ )  -> DECID 
u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
10398, 99, 101, 102syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  e.  (
1 ... ( `  B
) ) )
104 exmiddc 782 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  -> 
( u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  \/  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
105103, 104syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  \/ 
-.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
10686, 96, 105mpjaodan 747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  e.  ( `' f " A
) )
107106ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. u  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  u  e.  ( `' f " A ) )
108 1zzd 8747 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
1  e.  ZZ )
109 fzssuz 9447 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
110109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
)
111103ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. u  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
11213, 43, 69, 107, 108, 110, 111isumss 10747 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( `  B )
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
1131ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  A  C_  B )
114113resmptd 4750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
115114fveq1d 5291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
116 fvres 5313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
117116adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
118115, 117eqtr3d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
119118sumeq2dv 10721 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
120 fveq2 5289 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
1211adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
122 fsumss.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
123 ssfidc 6623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
124122, 1, 33, 123syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
125124adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  e.  Fin )
126121, 10, 125preimaf1ofi 6639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
127 f1of1 5236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
12810, 127syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
129 f1ores 5252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
130128, 13, 129syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
131 f1ofo 5244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
13210, 131syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
133 foimacnv 5255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
134132, 121, 133syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
135 f1oeq3 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( `' f " A ) )  =  A  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
136134, 135syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
137130, 136mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> A )
138 fvres 5313 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
139138adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
140121sselda 3023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
14141ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
142140, 141syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
143120, 126, 137, 139, 142fsumf1o 10746 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
144119, 143eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
145 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  NN )
146145nnzd 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  ZZ )
147108, 146fzfigd 9803 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  e. 
Fin )
148 eqidd 2089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  =  ( f `  n ) )
149120, 147, 10, 148, 141fsumf1o 10746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
150112, 144, 1493eqtr4d 2130 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
15122ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
152 sumfct 10727 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  C )
153151, 152syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
)
154153adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  C )
15522adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
156 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ph )
157 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
158 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  A
)
159157, 158eldifd 3007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  ( B 
\  A ) )
160156, 159, 26syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  =  0 )
161 0cnd 7460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
162160, 161eqeltrd 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
163155, 162, 38mpjaodan 747 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
164163ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
165 sumfct 10727 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  B  C )
166164, 165syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
)
167166adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ k  e.  B  C )
168150, 154, 1673eqtr3d 2128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
169168expr 367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
170169exlimdv 1747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
171170expimpd 355 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
172 fz1f1o 10728 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( `  B )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
173122, 172syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
1748, 171, 173mpjaod 673 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359    \ cdif 2994    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441    |-> cmpt 3891   `'ccnv 4427   dom cdm 4428    |` cres 4430   "cima 4431   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   -onto->wfo 5000   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Fincfn 6437   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393  ♯chash 10148   sum_csu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  isumss2  10749
  Copyright terms: Public domain W3C validator