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Theorem fisumss 11342
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
fsumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fsumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
fisumss.adc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
fsumss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fisumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j,
k)

Proof of Theorem fisumss
Dummy variables  f  u  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumss.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 sseq0 3455 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
31, 2sylan 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
43sumeq1d 11316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
65sumeq1d 11316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
74, 6eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
87ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
9 cnvimass 4972 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
10 simprr 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
11 f1of 5440 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
139, 12fssdm 5360 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  C_  (
1 ... ( `  B
) ) )
1412ffnd 5346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f  Fn  ( 1 ... ( `  B
) ) )
15 elpreima 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1712ffvelrnda 5628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
1817ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
1918adantrd 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2016, 19sylbid 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2120imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
22 fsumss.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2322ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
25 eldif 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
26 fsumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
27 0cn 7899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
2826, 27eqeltrdi 2261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
2925, 28sylan2br 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3029expr 373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
31 eleq1w 2231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
3231dcbid 833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
33 fisumss.adc . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
3433adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A
)
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
3632, 34, 35rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  -> DECID  k  e.  A
)
37 exmiddc 831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
3924, 30, 38mpjaod 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4039fmpttd 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4140adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4241ffvelrnda 5628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `
 n )  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  CC )
4321, 42syldan 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  CC )
44 eldifi 3249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
4544, 17sylan2 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
46 eldifn 3250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4816adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
4944adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
5049biantrurd 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
f `  n )  e.  A  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
5148, 50bitr4d 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
5247, 51mtbid 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  (
f `  n )  e.  A )
5345, 52eldifd 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  ( B  \  A ) )
54 difss 3253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
55 resmpt 4937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
5756fveq1i 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
58 fvres 5518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
5957, 58eqtr3id 2217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
6053, 59syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
61 c0ex 7901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
6261elsn2 3615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 0 }  <-> 
C  =  0 )
6326, 62sylibr 133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 0 } )
6463fmpttd 5648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6564ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) : ( B  \  A
) --> { 0 } )
6665, 53ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  e.  { 0 } )
67 elsni 3599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 0 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6866, 67syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6960, 68eqtr3d 2205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
70 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( f `  u )  ->  (
j  e.  A  <->  ( f `  u )  e.  A
) )
7170dcbid 833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( f `  u )  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  ( f `  u
)  e.  A ) )
7233ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
7312ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
74 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
7573, 74ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  u )  e.  B
)
7671, 72, 75rspcdva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
( f `  u
)  e.  A )
7710ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
78 f1ofun 5442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  Fun  f )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  Fun  f )
80 f1odm 5444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8177, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8274, 81eleqtrrd 2250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  u  e.  dom  f )
83 fvimacnv 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  f  /\  u  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  u )  e.  A  <->  u  e.  ( `' f
" A ) ) )
8479, 82, 83syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( ( f `
 u )  e.  A  <->  u  e.  ( `' f " A
) ) )
8584dcbid 833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  (DECID  ( f `  u
)  e.  A  <-> DECID  u  e.  ( `' f " A
) ) )
8676, 85mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
u  e.  ( `' f " A ) )
87 elpreima 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  <->  ( u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  u
)  e.  A ) ) )
88 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  /\  (
f `  u )  e.  A )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8987, 88syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ) )
9089con3d 626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9114, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A
) ) )
9291adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9392imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A
) )
9493olcd 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  \/  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
95 df-dc 830 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  e.  ( `' f " A )  <->  ( u  e.  ( `' f " A )  \/  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9694, 95sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
u  e.  ( `' f " A ) )
97 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  ZZ )
9897adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  ZZ )
99 1zzd 9226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ZZ )
100 simplrl 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  NN )
101100nnzd 9320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  ZZ )
102 fzdcel 9983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( `  B )  e.  ZZ )  -> DECID 
u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
10398, 99, 101, 102syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  e.  (
1 ... ( `  B
) ) )
104 exmiddc 831 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  -> 
( u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  \/  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
105103, 104syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  \/ 
-.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
10686, 96, 105mpjaodan 793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  e.  ( `' f " A
) )
107106ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. u  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  u  e.  ( `' f " A ) )
108 1zzd 9226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
1  e.  ZZ )
109 fzssuz 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
110109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
)
111103ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. u  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
11213, 43, 69, 107, 108, 110, 111isumss 11341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( `  B )
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
1131ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  A  C_  B )
114113resmptd 4940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
115114fveq1d 5496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
116 fvres 5518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
117116adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
118115, 117eqtr3d 2205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
119118sumeq2dv 11318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
120 fveq2 5494 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
1211adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
122 fsumss.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
123 ssfidc 6908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
124122, 1, 33, 123syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
125124adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  e.  Fin )
126121, 10, 125preimaf1ofi 6924 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
127 f1of1 5439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
12810, 127syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
129 f1ores 5455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
130128, 13, 129syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
131 f1ofo 5447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
13210, 131syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
133 foimacnv 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
134132, 121, 133syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
135 f1oeq3 5431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( `' f " A ) )  =  A  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
136134, 135syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
137130, 136mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> A )
138 fvres 5518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
139138adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
140121sselda 3147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
14141ffvelrnda 5628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
142140, 141syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
143120, 126, 137, 139, 142fsumf1o 11340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
144119, 143eqtrd 2203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
145 simprl 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  NN )
146145nnzd 9320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  ZZ )
147108, 146fzfigd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  e. 
Fin )
148 eqidd 2171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  =  ( f `  n ) )
149120, 147, 10, 148, 141fsumf1o 11340 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
150112, 144, 1493eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
15122ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
152 sumfct 11324 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  C )
153151, 152syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
)
154153adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  C )
15522adantlr 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
156 simpll 524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ph )
157 simplr 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
158 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  A
)
159157, 158eldifd 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  ( B 
\  A ) )
160156, 159, 26syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  =  0 )
161 0cnd 7900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
162160, 161eqeltrd 2247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
163155, 162, 38mpjaodan 793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
164163ralrimiva 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
165 sumfct 11324 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  B  C )
166164, 165syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
)
167166adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ k  e.  B  C )
168150, 154, 1673eqtr3d 2211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
169168expr 373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
170169exlimdv 1812 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
171170expimpd 361 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
172 fz1f1o 11325 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( `  B )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
173122, 172syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
1748, 171, 173mpjaod 713 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448    \ cdif 3118    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3581    |-> cmpt 4048   `'ccnv 4608   dom cdm 4609    |` cres 4611   "cima 4612   Fun wfun 5190    Fn wfn 5191   -->wf 5192   -1-1->wf1 5193   -onto->wfo 5194   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   Fincfn 6714   CCcc 7759   0cc0 7761   1c1 7762   NNcn 8865   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952  ♯chash 10696   sum_csu 11303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304
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