Theorem fisumss 11574

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fsumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fsumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
fisumss.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
fsumss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fisumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisumss

Dummy variables f u m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumss.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq0 3493	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ B = (/) ) -> A = (/) )
3	1, 2	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> A = (/) )
4	3	sumeq1d 11548	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. (/) C )
5		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B = (/) )
6	5	sumeq1d 11548	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. B C = sum_ k e. (/) C )
7	4, 6	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
8	7	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
9		cnvimass 5033	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
10		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
11		f1of 5507	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
13	9, 12	fssdm 5425	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
14	12	ffnd 5411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
15		elpreima 5684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
17	12	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
18	17	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
19	18	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
20	16, 19	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
21	20	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
22		fsumss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
23	22	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
25		eldif 3166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
26		fsumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
27		0cn 8035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
28	26, 27	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
29	25, 28	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
30	29	expr 375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
31		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
32	31	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
33		fisumss.adc	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. B DECID j e. A )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
36	32, 34, 35	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
37		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
39	24, 30, 38	mpjaod 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
40	39	fmpttd 5720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
42	41	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
43	21, 42	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
44		eldifi 3286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
45	44, 17	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
46		eldifn 3287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
48	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
49	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
50	49	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
51	48, 50	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
52	47, 51	mtbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
53	45, 52	eldifd 3167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
54		difss 3290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
55		resmpt 4995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
57	56	fveq1i 5562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
58		fvres 5585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
59	57, 58	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
60	53, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
61		c0ex 8037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
62	61	elsn2 3657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 0 } <-> C = 0 )
63	26, 62	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 0 } )
64	63	fmpttd 5720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
66	65, 53	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } )
67		elsni 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
69	60, 68	eqtr3d 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
70		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( f ` u ) -> ( j e. A <-> ( f ` u ) e. A ) )
71	70	dcbid 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( f ` u ) -> (DECID j e. A <-> DECID ( f ` u ) e. A ) )
72	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
73	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
74		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
75	73, 74	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` u ) e. B )
76	71, 72, 75	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID ( f ` u ) e. A )
77	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
78		f1ofun 5509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> Fun f )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> Fun f )
80		f1odm 5511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> dom f = ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
81	77, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> dom f = ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
82	74, 81	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> u e. dom f )
83		fvimacnv 5680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun f /\ u e. dom f ) -> ( ( f ` u ) e. A <-> u e. ( `' f " A ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( f ` u ) e. A <-> u e. ( `' f " A ) ) )
85	84	dcbid 839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> (DECID ( f ` u ) e. A <-> DECID u e. ( `' f " A ) ) )
86	76, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
87		elpreima 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) <-> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` u ) e. A ) ) )
88		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` u ) e. A ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
89	87, 88	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
90	89	con3d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
91	14, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
92	91	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) )
94	93	olcd 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) \/ -. u e. ( `' f " A ) ) )
95		df-dc 836	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u e. ( `' f " A ) <-> ( u e. ( `' f " A ) \/ -. u e. ( `' f " A ) ) )
96	94, 95	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
97		eluzelz 9627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
98	97	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
99		1zzd 9370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
100		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
101	100	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
102		fzdcel 10132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
103	98, 99, 101, 102	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
104		exmiddc 837	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
105	103, 104	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
106	86, 96, 105	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
107	106	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. u e. ( ZZ>= ` 1 )DECID u e. ( `' f " A ) )
108		1zzd 9370	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> 1 e. ZZ )
109		fzssuz 10157	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
110	109	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
111	103	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. u e. ( ZZ>= ` 1 )DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
112	13, 43, 69, 107, 108, 110, 111	isumss 11573	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
113	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> A C_ B )
114	113	resmptd 4998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
115	114	fveq1d 5563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
116		fvres 5585	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
117	116	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
118	115, 117	eqtr3d 2231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
119	118	sumeq2dv 11550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
120		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
121	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
122		fsumss.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
123		ssfidc 7007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A. j e. B DECID j e. A ) -> A e. Fin )
124	122, 1, 33, 123	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
125	124	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A e. Fin )
126	121, 10, 125	preimaf1ofi 7026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
127		f1of1 5506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
128	10, 127	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
129		f1ores 5522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
130	128, 13, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
131		f1ofo 5514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
132	10, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
133		foimacnv 5525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
134	132, 121, 133	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
135		f1oeq3 5497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
136	134, 135	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
137	130, 136	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
138		fvres 5585	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
139	138	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
140	121	sselda 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
141	41	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
142	140, 141	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
143	120, 126, 137, 139, 142	fsumf1o 11572	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
144	119, 143	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
145		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
146	145	nnzd 9464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
147	108, 146	fzfigd 10540	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) e. Fin )
148		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
149	120, 147, 10, 148, 141	fsumf1o 11572	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
150	112, 144, 149	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
151	22	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
152		sumfct 11556	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
153	151, 152	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
154	153	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
155	22	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
156		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
157		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
158		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
159	157, 158	eldifd 3167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
160	156, 159, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
161		0cnd 8036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
162	160, 161	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
163	155, 162, 38	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
164	163	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
165		sumfct 11556	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
166	164, 165	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
167	166	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
168	150, 154, 167	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
169	168	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
170	169	exlimdv 1833	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
171	170	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
172		fz1f1o 11557	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
173	122, 172	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
174	8, 171, 173	mpjaod 719	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   \ cdif 3154   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623   |-> cmpt 4095   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   |` cres 4666   "cima 4667   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -1-1->wf1 5256   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   NNcn 9007   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ♯chash 10884   sum_csu 11535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536

This theorem is referenced by:  isumss2  11575  ply1termlem  15062  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plycoeid3  15077  dvply1  15085