Theorem fisumss 10748

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fsumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fsumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
fisumss.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
fsumss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fisumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisumss

Dummy variables f u m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumss.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq0 3321	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ B = (/) ) -> A = (/) )
3	1, 2	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> A = (/) )
4	3	sumeq1d 10719	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. (/) C )
5		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B = (/) )
6	5	sumeq1d 10719	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. B C = sum_ k e. (/) C )
7	4, 6	eqtr4d 2123	. . 3 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
8	7	ex 113	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
9		cnvimass 4782	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
10		simprr 499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
11		f1of 5237	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
13	9, 12	fssdm 5160	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
14	12	ffnd 5148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
15		elpreima 5402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
17	12	ffvelrnda 5418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
18	17	ex 113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
19	18	adantrd 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
20	16, 19	sylbid 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
21	20	imp 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
22		fsumss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
23	22	ex 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
24	23	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
25		eldif 3006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
26		fsumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
27		0cn 7459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
28	26, 27	syl6eqel 2178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
29	25, 28	sylan2br 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
30	29	expr 367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
31		eleq1w 2148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
32	31	dcbid 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
33		fisumss.adc	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
34	33	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. B DECID j e. A )
35		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
36	32, 34, 35	rspcdva 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
37		exmiddc 782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
39	24, 30, 38	mpjaod 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
40	39	fmpttd 5437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
41	40	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
42	41	ffvelrnda 5418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
43	21, 42	syldan 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
44		eldifi 3120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
45	44, 17	sylan2 280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
46		eldifn 3121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
47	46	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
48	16	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
49	44	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
50	49	biantrurd 299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
51	48, 50	bitr4d 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
52	47, 51	mtbid 632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
53	45, 52	eldifd 3007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
54		difss 3124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
55		resmpt 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
56	54, 55	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
57	56	fveq1i 5290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
58		fvres 5313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
59	57, 58	syl5eqr 2134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
60	53, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
61		c0ex 7461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
62	61	elsn2 3473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 0 } <-> C = 0 )
63	26, 62	sylibr 132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 0 } )
64	63	fmpttd 5437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
65	64	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
66	65, 53	ffvelrnd 5419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } )
67		elsni 3459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
69	60, 68	eqtr3d 2122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
70		eleq1 2150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( f ` u ) -> ( j e. A <-> ( f ` u ) e. A ) )
71	70	dcbid 786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( f ` u ) -> (DECID j e. A <-> DECID ( f ` u ) e. A ) )
72	33	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
73	12	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
74		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
75	73, 74	ffvelrnd 5419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` u ) e. B )
76	71, 72, 75	rspcdva 2727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID ( f ` u ) e. A )
77	10	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
78		f1ofun 5239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> Fun f )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> Fun f )
80		f1odm 5241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> dom f = ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
81	77, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> dom f = ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
82	74, 81	eleqtrrd 2167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> u e. dom f )
83		fvimacnv 5398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun f /\ u e. dom f ) -> ( ( f ` u ) e. A <-> u e. ( `' f " A ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( f ` u ) e. A <-> u e. ( `' f " A ) ) )
85	84	dcbid 786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> (DECID ( f ` u ) e. A <-> DECID u e. ( `' f " A ) ) )
86	76, 85	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
87		elpreima 5402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) <-> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` u ) e. A ) ) )
88		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` u ) e. A ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
89	87, 88	syl6bi 161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
90	89	con3d 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
91	14, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
92	91	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
93	92	imp 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) )
94	93	olcd 688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) \/ -. u e. ( `' f " A ) ) )
95		df-dc 781	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u e. ( `' f " A ) <-> ( u e. ( `' f " A ) \/ -. u e. ( `' f " A ) ) )
96	94, 95	sylibr 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
97		eluzelz 8997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
98	97	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
99		1zzd 8747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
100		simplrl 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
101	100	nnzd 8837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
102		fzdcel 9423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
103	98, 99, 101, 102	syl3anc 1174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
104		exmiddc 782	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
105	103, 104	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
106	86, 96, 105	mpjaodan 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
107	106	ralrimiva 2446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. u e. ( ZZ>= ` 1 )DECID u e. ( `' f " A ) )
108		1zzd 8747	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> 1 e. ZZ )
109		fzssuz 9447	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
110	109	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
111	103	ralrimiva 2446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. u e. ( ZZ>= ` 1 )DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
112	13, 43, 69, 107, 108, 110, 111	isumss 10747	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
113	1	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> A C_ B )
114	113	resmptd 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
115	114	fveq1d 5291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
116		fvres 5313	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
117	116	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
118	115, 117	eqtr3d 2122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
119	118	sumeq2dv 10721	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
120		fveq2 5289	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
121	1	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
122		fsumss.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
123		ssfidc 6623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A. j e. B DECID j e. A ) -> A e. Fin )
124	122, 1, 33, 123	syl3anc 1174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
125	124	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A e. Fin )
126	121, 10, 125	preimaf1ofi 6639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
127		f1of1 5236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
128	10, 127	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
129		f1ores 5252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
130	128, 13, 129	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
131		f1ofo 5244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
132	10, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
133		foimacnv 5255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
134	132, 121, 133	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
135		f1oeq3 5230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
136	134, 135	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
137	130, 136	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
138		fvres 5313	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
139	138	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
140	121	sselda 3023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
141	41	ffvelrnda 5418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
142	140, 141	syldan 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
143	120, 126, 137, 139, 142	fsumf1o 10746	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
144	119, 143	eqtrd 2120	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
145		simprl 498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
146	145	nnzd 8837	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
147	108, 146	fzfigd 9803	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) e. Fin )
148		eqidd 2089	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
149	120, 147, 10, 148, 141	fsumf1o 10746	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
150	112, 144, 149	3eqtr4d 2130	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
151	22	ralrimiva 2446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
152		sumfct 10727	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
153	151, 152	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
154	153	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
155	22	adantlr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
156		simpll 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
157		simplr 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
158		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
159	157, 158	eldifd 3007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
160	156, 159, 26	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
161		0cnd 7460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
162	160, 161	eqeltrd 2164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
163	155, 162, 38	mpjaodan 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
164	163	ralrimiva 2446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
165		sumfct 10727	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
166	164, 165	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
167	166	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
168	150, 154, 167	3eqtr3d 2128	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
169	168	expr 367	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
170	169	exlimdv 1747	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
171	170	expimpd 355	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
172		fz1f1o 10728	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
173	122, 172	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
174	8, 171, 173	mpjaod 673	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   \ cdif 2994   C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   |-> cmpt 3891   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   |` cres 4430   "cima 4431   Fun wfun 4996   Fn wfn 4997   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   -onto->wfo 5000   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Fincfn 6437   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393  ♯chash 10148   sum_csu 10706

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707

This theorem is referenced by:  isumss2  10749