Theorem fisumss 11319

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fsumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fsumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
fisumss.adc	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
fsumss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fisumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j, k)

Proof of Theorem fisumss

Dummy variables f u m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumss.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq0 3445	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ B = (/) ) -> A = (/) )
3	1, 2	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> A = (/) )
4	3	sumeq1d 11293	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. (/) C )
5		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B = (/) )
6	5	sumeq1d 11293	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. B C = sum_ k e. (/) C )
7	4, 6	eqtr4d 2200	. . 3 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
8	7	ex 114	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
9		cnvimass 4961	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
10		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
11		f1of 5426	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
13	9, 12	fssdm 5346	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
14	12	ffnd 5332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
15		elpreima 5598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
17	12	ffvelrnda 5614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
18	17	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
19	18	adantrd 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
20	16, 19	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
21	20	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
22		fsumss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
23	22	ex 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
25		eldif 3120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
26		fsumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
27		0cn 7882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
28	26, 27	eqeltrdi 2255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
29	25, 28	sylan2br 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
30	29	expr 373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
31		eleq1w 2225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
32	31	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
33		fisumss.adc	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. B DECID j e. A )
35		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
36	32, 34, 35	rspcdva 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
37		exmiddc 826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
39	24, 30, 38	mpjaod 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
40	39	fmpttd 5634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
41	40	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
42	41	ffvelrnda 5614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
43	21, 42	syldan 280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
44		eldifi 3239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
45	44, 17	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
46		eldifn 3240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
48	16	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
49	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
50	49	biantrurd 303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
51	48, 50	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
52	47, 51	mtbid 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
53	45, 52	eldifd 3121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
54		difss 3243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
55		resmpt 4926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
57	56	fveq1i 5481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
58		fvres 5504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
59	57, 58	eqtr3id 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
60	53, 59	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
61		c0ex 7884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
62	61	elsn2 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 0 } <-> C = 0 )
63	26, 62	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 0 } )
64	63	fmpttd 5634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
65	64	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
66	65, 53	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } )
67		elsni 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
69	60, 68	eqtr3d 2199	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
70		eleq1 2227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( f ` u ) -> ( j e. A <-> ( f ` u ) e. A ) )
71	70	dcbid 828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( f ` u ) -> (DECID j e. A <-> DECID ( f ` u ) e. A ) )
72	33	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
73	12	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
74		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
75	73, 74	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` u ) e. B )
76	71, 72, 75	rspcdva 2830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID ( f ` u ) e. A )
77	10	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
78		f1ofun 5428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> Fun f )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> Fun f )
80		f1odm 5430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> dom f = ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
81	77, 80	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> dom f = ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
82	74, 81	eleqtrrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> u e. dom f )
83		fvimacnv 5594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun f /\ u e. dom f ) -> ( ( f ` u ) e. A <-> u e. ( `' f " A ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( f ` u ) e. A <-> u e. ( `' f " A ) ) )
85	84	dcbid 828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> (DECID ( f ` u ) e. A <-> DECID u e. ( `' f " A ) ) )
86	76, 85	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
87		elpreima 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) <-> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` u ) e. A ) ) )
88		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` u ) e. A ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
89	87, 88	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) -> u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
90	89	con3d 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
91	14, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
92	91	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) ) )
93	92	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. u e. ( `' f " A ) )
94	93	olcd 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( u e. ( `' f " A ) \/ -. u e. ( `' f " A ) ) )
95		df-dc 825	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u e. ( `' f " A ) <-> ( u e. ( `' f " A ) \/ -. u e. ( `' f " A ) ) )
96	94, 95	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
97		eluzelz 9466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( ZZ>= ` 1 ) -> u e. ZZ )
98	97	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> u e. ZZ )
99		1zzd 9209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
100		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
101	100	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
102		fzdcel 9965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
103	98, 99, 101, 102	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
104		exmiddc 826	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
105	103, 104	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
106	86, 96, 105	mpjaodan 788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ u e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID u e. ( `' f " A ) )
107	106	ralrimiva 2537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. u e. ( ZZ>= ` 1 )DECID u e. ( `' f " A ) )
108		1zzd 9209	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> 1 e. ZZ )
109		fzssuz 9990	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
110	109	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
111	103	ralrimiva 2537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. u e. ( ZZ>= ` 1 )DECID u e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
112	13, 43, 69, 107, 108, 110, 111	isumss 11318	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
113	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> A C_ B )
114	113	resmptd 4929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
115	114	fveq1d 5482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
116		fvres 5504	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
117	116	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
118	115, 117	eqtr3d 2199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
119	118	sumeq2dv 11295	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
120		fveq2 5480	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
121	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
122		fsumss.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
123		ssfidc 6891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A. j e. B DECID j e. A ) -> A e. Fin )
124	122, 1, 33, 123	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. Fin )
125	124	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A e. Fin )
126	121, 10, 125	preimaf1ofi 6907	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
127		f1of1 5425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
128	10, 127	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
129		f1ores 5441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
130	128, 13, 129	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
131		f1ofo 5433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
132	10, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
133		foimacnv 5444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
134	132, 121, 133	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
135		f1oeq3 5417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
136	134, 135	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
137	130, 136	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
138		fvres 5504	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
139	138	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
140	121	sselda 3137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
141	41	ffvelrnda 5614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
142	140, 141	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
143	120, 126, 137, 139, 142	fsumf1o 11317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
144	119, 143	eqtrd 2197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
145		simprl 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
146	145	nnzd 9303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
147	108, 146	fzfigd 10356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) e. Fin )
148		eqidd 2165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
149	120, 147, 10, 148, 141	fsumf1o 11317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
150	112, 144, 149	3eqtr4d 2207	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
151	22	ralrimiva 2537	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
152		sumfct 11301	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A C e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
153	151, 152	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
154	153	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C )
155	22	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
156		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> ph )
157		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. B )
158		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> -. k e. A )
159	157, 158	eldifd 3121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> k e. ( B \ A ) )
160	156, 159, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C = 0 )
161		0cnd 7883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. CC )
162	160, 161	eqeltrd 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ -. k e. A ) -> C e. CC )
163	155, 162, 38	mpjaodan 788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
164	163	ralrimiva 2537	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
165		sumfct 11301	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. B C e. CC -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
166	164, 165	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
167	166	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C )
168	150, 154, 167	3eqtr3d 2205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
169	168	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
170	169	exlimdv 1806	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
171	170	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
172		fz1f1o 11302	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
173	122, 172	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
174	8, 171, 173	mpjaod 708	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   A.wral 2442   \ cdif 3108   C_ wss 3111   (/)c0 3404   {csn 3570   |-> cmpt 4037   `'ccnv 4597   dom cdm 4598   |` cres 4600   "cima 4601   Fun wfun 5176   Fn wfn 5177   -->wf 5178   -1-1->wf1 5179   -onto->wfo 5180   -1-1-onto->wf1o 5181   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   Fincfn 6697   CCcc 7742   0cc0 7744   1c1 7745   NNcn 8848   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457   ...cfz 9935  ♯chash 10677   sum_csu 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-frec 6350  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-er 6492  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-ihash 10678  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-clim 11206  df-sumdc 11281

This theorem is referenced by:  isumss2  11320