ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumss Unicode version

Theorem fisumss 11053
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
fsumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fsumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
fisumss.adc  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
fsumss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fisumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j,
k)

Proof of Theorem fisumss
Dummy variables  f  u  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumss.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 sseq0 3370 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
31, 2sylan 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
43sumeq1d 11027 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
65sumeq1d 11027 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
74, 6eqtr4d 2150 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
87ex 114 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
9 cnvimass 4860 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
10 simprr 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
11 f1of 5323 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
139, 12fssdm 5245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  C_  (
1 ... ( `  B
) ) )
1412ffnd 5231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f  Fn  ( 1 ... ( `  B
) ) )
15 elpreima 5493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1712ffvelrnda 5509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
1817ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
1918adantrd 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2016, 19sylbid 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2120imp 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
22 fsumss.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2322ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2423adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
25 eldif 3046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
26 fsumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
27 0cn 7682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
2826, 27syl6eqel 2205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
2925, 28sylan2br 284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3029expr 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
31 eleq1w 2175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
3231dcbid 806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
33 fisumss.adc . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
3433adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A
)
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
3632, 34, 35rspcdva 2765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  -> DECID  k  e.  A
)
37 exmiddc 804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
3924, 30, 38mpjaod 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4039fmpttd 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4140adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4241ffvelrnda 5509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `
 n )  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  CC )
4321, 42syldan 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  CC )
44 eldifi 3164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
4544, 17sylan2 282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
46 eldifn 3165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4746adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4816adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
4944adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
5049biantrurd 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
f `  n )  e.  A  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
5148, 50bitr4d 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
5247, 51mtbid 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  (
f `  n )  e.  A )
5345, 52eldifd 3047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  ( B  \  A ) )
54 difss 3168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
55 resmpt 4825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
5756fveq1i 5376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
58 fvres 5399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
5957, 58syl5eqr 2161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
6053, 59syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
61 c0ex 7684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
6261elsn2 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 0 }  <-> 
C  =  0 )
6326, 62sylibr 133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 0 } )
6463fmpttd 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6564ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) : ( B  \  A
) --> { 0 } )
6665, 53ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  e.  { 0 } )
67 elsni 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 0 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6866, 67syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6960, 68eqtr3d 2149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
70 eleq1 2177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( f `  u )  ->  (
j  e.  A  <->  ( f `  u )  e.  A
) )
7170dcbid 806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( f `  u )  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  ( f `  u
)  e.  A ) )
7233ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
7312ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
74 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
7573, 74ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  u )  e.  B
)
7671, 72, 75rspcdva 2765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
( f `  u
)  e.  A )
7710ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
78 f1ofun 5325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  Fun  f )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  Fun  f )
80 f1odm 5327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8177, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8274, 81eleqtrrd 2194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  u  e.  dom  f )
83 fvimacnv 5489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  f  /\  u  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  u )  e.  A  <->  u  e.  ( `' f
" A ) ) )
8479, 82, 83syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( ( f `
 u )  e.  A  <->  u  e.  ( `' f " A
) ) )
8584dcbid 806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  (DECID  ( f `  u
)  e.  A  <-> DECID  u  e.  ( `' f " A
) ) )
8676, 85mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
u  e.  ( `' f " A ) )
87 elpreima 5493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  <->  ( u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  u
)  e.  A ) ) )
88 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  /\  (
f `  u )  e.  A )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
8987, 88syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  ->  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ) )
9089con3d 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9114, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A
) ) )
9291adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9392imp 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  -.  u  e.  ( `' f " A
) )
9493olcd 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( u  e.  ( `' f " A )  \/  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
95 df-dc 803 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  e.  ( `' f " A )  <->  ( u  e.  ( `' f " A )  \/  -.  u  e.  ( `' f " A ) ) )
9694, 95sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
u  e.  ( `' f " A ) )
97 eluzelz 9237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  u  e.  ZZ )
9897adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  u  e.  ZZ )
99 1zzd 8985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ZZ )
100 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  NN )
101100nnzd 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  ZZ )
102 fzdcel 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( `  B )  e.  ZZ )  -> DECID 
u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
10398, 99, 101, 102syl3anc 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  e.  (
1 ... ( `  B
) ) )
104 exmiddc 804 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  -> 
( u  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  \/  -.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
105103, 104syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( u  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  \/ 
-.  u  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
10686, 96, 105mpjaodan 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  u  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  u  e.  ( `' f " A
) )
107106ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. u  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  u  e.  ( `' f " A ) )
108 1zzd 8985 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
1  e.  ZZ )
109 fzssuz 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
110109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
)
111103ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. u  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  u  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
11213, 43, 69, 107, 108, 110, 111isumss 11052 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( `  B )
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
1131ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  A  C_  B )
114113resmptd 4828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
115114fveq1d 5377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
116 fvres 5399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
117116adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
118115, 117eqtr3d 2149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
119118sumeq2dv 11029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
120 fveq2 5375 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
1211adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
122 fsumss.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
123 ssfidc 6775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
124122, 1, 33, 123syl3anc 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
125124adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  e.  Fin )
126121, 10, 125preimaf1ofi 6791 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
127 f1of1 5322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
12810, 127syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
129 f1ores 5338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
130128, 13, 129syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
131 f1ofo 5330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
13210, 131syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
133 foimacnv 5341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
134132, 121, 133syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
135 f1oeq3 5316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( `' f " A ) )  =  A  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
136134, 135syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
137130, 136mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> A )
138 fvres 5399 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
139138adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
140121sselda 3063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
14141ffvelrnda 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
142140, 141syldan 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
143120, 126, 137, 139, 142fsumf1o 11051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
144119, 143eqtrd 2147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
145 simprl 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  NN )
146145nnzd 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  ZZ )
147108, 146fzfigd 10097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  e. 
Fin )
148 eqidd 2116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  =  ( f `  n ) )
149120, 147, 10, 148, 141fsumf1o 11051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
150112, 144, 1493eqtr4d 2157 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
15122ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
152 sumfct 11035 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  C )
153151, 152syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
)
154153adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  C )
15522adantlr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
156 simpll 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ph )
157 simplr 502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
158 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  A
)
159157, 158eldifd 3047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  k  e.  ( B 
\  A ) )
160156, 159, 26syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  =  0 )
161 0cnd 7683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  CC )
162160, 161eqeltrd 2191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
163155, 162, 38mpjaodan 770 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
164163ralrimiva 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
165 sumfct 11035 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  B  C )
166164, 165syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
)
167166adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  sum_ k  e.  B  C )
168150, 154, 1673eqtr3d 2155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
169168expr 370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
170169exlimdv 1773 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
171170expimpd 358 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
172 fz1f1o 11036 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( `  B )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
173122, 172syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
1748, 171, 173mpjaod 690 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2390    \ cdif 3034    C_ wss 3037   (/)c0 3329   {csn 3493    |-> cmpt 3949   `'ccnv 4498   dom cdm 4499    |` cres 4501   "cima 4502   Fun wfun 5075    Fn wfn 5076   -->wf 5077   -1-1->wf1 5078   -onto->wfo 5079   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Fincfn 6588   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548   NNcn 8630   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   ...cfz 9683  ♯chash 10414   sum_csu 11014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015
This theorem is referenced by:  isumss2  11054
  Copyright terms: Public domain W3C validator