Theorem frechashgf1o 10694

Description: G maps om one-to-one onto NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	|- G : om -1-1-onto-> NN0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9494	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
2		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10672	. . 3 |- ( T. -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4	3	mptru 1406	. 2 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
5		nn0uz 9794	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		f1oeq3 5574	. . 3 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
8	4, 7	mpbir 146	1 |- G : om -1-1-onto-> NN0

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1397   T. wtru 1398   |-> cmpt 4150   omcom 4688   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6021  freccfrec 6559   0cc0 8035   1c1 8036   + caddc 8038   NN0cn0 9405   ZZcz 9482   ZZ>=cuz 9758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-recs 6474  df-frec 6560  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759

This theorem is referenced by:  fzfig  10696  nnenom  10700  fnn0nninf  10704  0tonninf  10706  1tonninf  10707  omgadd  11069  ennnfonelemp1  13048  ennnfonelemhdmp1  13051  ennnfonelemss  13052  ennnfonelemkh  13054  ennnfonelemhf1o  13055  ennnfonelemex  13056  ennnfonelemnn0  13064  ctinfomlemom  13069  012of  16651  2o01f  16652  isomninnlem  16693  iswomninnlem  16713  ismkvnnlem  16716