Theorem frechashgf1o 10398

Description: G maps om one-to-one onto NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	|- G : om -1-1-onto-> NN0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9238	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
2		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10376	. . 3 |- ( T. -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4	3	mptru 1362	. 2 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
5		nn0uz 9535	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		f1oeq3 5443	. . 3 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
8	4, 7	mpbir 146	1 |- G : om -1-1-onto-> NN0

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   |-> cmpt 4059   omcom 4583   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208  (class class class)co 5865  freccfrec 6381   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   NN0cn0 9149   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502

This theorem is referenced by:  fzfig  10400  nnenom  10404  fnn0nninf  10407  0tonninf  10409  1tonninf  10410  omgadd  10750  ennnfonelemp1  12374  ennnfonelemhdmp1  12377  ennnfonelemss  12378  ennnfonelemkh  12380  ennnfonelemhf1o  12381  ennnfonelemex  12382  ennnfonelemnn0  12390  ctinfomlemom  12395  012of  14305  2o01f  14306  isomninnlem  14339  iswomninnlem  14358  ismkvnnlem  14361