Theorem frechashgf1o 10650

Description: G maps om one-to-one onto NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	|- G : om -1-1-onto-> NN0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9458	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
2		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10628	. . 3 |- ( T. -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4	3	mptru 1404	. 2 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
5		nn0uz 9757	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		f1oeq3 5562	. . 3 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
8	4, 7	mpbir 146	1 |- G : om -1-1-onto-> NN0

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   T. wtru 1396   |-> cmpt 4145   omcom 4682   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001  freccfrec 6536   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  fzfig  10652  nnenom  10656  fnn0nninf  10660  0tonninf  10662  1tonninf  10663  omgadd  11024  ennnfonelemp1  12977  ennnfonelemhdmp1  12980  ennnfonelemss  12981  ennnfonelemkh  12983  ennnfonelemhf1o  12984  ennnfonelemex  12985  ennnfonelemnn0  12993  ctinfomlemom  12998  012of  16357  2o01f  16358  isomninnlem  16398  iswomninnlem  16417  ismkvnnlem  16420