Theorem frechashgf1o 10194

Description: G maps om one-to-one onto NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	|- G : om -1-1-onto-> NN0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9059	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
2		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10172	. . 3 |- ( T. -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4	3	mptru 1340	. 2 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
5		nn0uz 9353	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		f1oeq3 5353	. . 3 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
8	4, 7	mpbir 145	1 |- G : om -1-1-onto-> NN0

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   T. wtru 1332   |-> cmpt 3984   omcom 4499   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767  freccfrec 6280   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  fzfig  10196  nnenom  10200  fnn0nninf  10203  0tonninf  10205  1tonninf  10206  omgadd  10541  ennnfonelemp1  11908  ennnfonelemhdmp1  11911  ennnfonelemss  11912  ennnfonelemkh  11914  ennnfonelemhf1o  11915  ennnfonelemex  11916  ennnfonelemnn0  11924  ctinfomlemom  11929  isomninnlem  13214