Theorem frechashgf1o 10846

Description: G maps om one-to-one onto NN0. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )

Assertion

Ref	Expression
frechashgf1o	|- G : om -1-1-onto-> NN0

Proof of Theorem frechashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9638	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
2		frecfzennn.1	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
3	1, 2	frec2uzf1od 10824	. . 3 |- ( T. -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4	3	mptru 1411	. 2 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
5		nn0uz 9939	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		f1oeq3 5627	. . 3 |- ( NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
8	4, 7	mpbir 146	1 |- G : om -1-1-onto-> NN0

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   |-> cmpt 4190   omcom 4735   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6078  freccfrec 6654   0cc0 8172   1c1 8173   + caddc 8175   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   ZZ>=cuz 9903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904

This theorem is referenced by:  fzfig  10848  nnenom  10852  fnn0nninf  10856  0tonninf  10858  1tonninf  10859  omgadd  11223  ennnfonelemp1  13278  ennnfonelemhdmp1  13281  ennnfonelemss  13282  ennnfonelemkh  13284  ennnfonelemhf1o  13285  ennnfonelemex  13286  ennnfonelemnn0  13294  ctinfomlemom  13299  012of  16940  2o01f  16941  isomninnlem  16987  iswomninnlem  17007  ismkvnnlem  17010