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Theorem ennnfonelemhf1o 12984
Description: Lemma for ennnfone 12996. Each of the functions in H is one to one and onto an image of F. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f |- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h |- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhf1o.p |- ( ph -> P e. NN0 )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemhf1o |- ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )
Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, x, y   j, G   j, H, k, x, y   j, J   j, N, k, x, y   ph, j, k, x, y
Allowed substitution hints:   ph( n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( n)   G( x, y, k, n)   H( n)   J( x, y, k, n)   N( n)
Proof of Theorem ennnfonelemhf1o
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemhf1o.p . 2 |- ( ph -> P e. NN0 )
2 fveq2 5627 . . . . 5 |- ( w = 0 -> ( H ` w ) = ( H ` 0 ) )
32dmeqd 4925 . . . . 5 |- ( w = 0 -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` 0 ) )
4 fveq2 5627 . . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` 0 ) )
54imaeq2d 5068 . . . . 5 |- ( w = 0 -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` 0 ) ) )
62, 3, 5f1oeq123d 5566 . . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) ) )
76imbi2d 230 . . 3 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) ) ) )
8 fveq2 5627 . . . . 5 |- ( w = k -> ( H ` w ) = ( H ` k ) )
98dmeqd 4925 . . . . 5 |- ( w = k -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` k ) )
10 fveq2 5627 . . . . . 6 |- ( w = k -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` k ) )
1110imaeq2d 5068 . . . . 5 |- ( w = k -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
128, 9, 11f1oeq123d 5566 . . . 4 |- ( w = k -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
1312imbi2d 230 . . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) ) )
14 fveq2 5627 . . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( k + 1 ) ) )
1514dmeqd 4925 . . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` ( k + 1 ) ) )
16 fveq2 5627 . . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` ( k + 1 ) ) )
1716imaeq2d 5068 . . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
1814, 15, 17f1oeq123d 5566 . . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) )
1918imbi2d 230 . . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20 fveq2 5627 . . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
2120dmeqd 4925 . . . . 5 |- ( w = P -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` P ) )
22 fveq2 5627 . . . . . 6 |- ( w = P -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` P ) )
2322imaeq2d 5068 . . . . 5 |- ( w = P -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
2420, 21, 23f1oeq123d 5566 . . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
2524imbi2d 230 . . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) ) )
26 f1o0 5610 . . . 4 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
27 ennnfonelemh.dceq . . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
28 ennnfonelemh.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
29 ennnfonelemh.ne . . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
30 ennnfonelemh.g . . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
31 ennnfonelemh.n . . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
32 ennnfonelemh.j . . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
33 ennnfonelemh.h . . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
3427, 28, 29, 30, 31, 32, 33ennnfonelem0 12976 . . . . 5 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
3534dmeqd 4925 . . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
36 dm0 4937 . . . . . 6 |- dom (/) = (/)
3735, 36eqtrdi 2278 . . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = (/) )
38 0zd 9458 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
3938, 31frec2uz0d 10621 . . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1404 . . . . . . . . . 10 |- ( N ` (/) ) = 0
4140fveq2i 5630 . . . . . . . . 9 |- ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = ( `' N ` 0 )
4238, 31frec2uzf1od 10628 . . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
4342mptru 1404 . . . . . . . . . 10 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
44 peano1 4686 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
45 f1ocnvfv1 5901 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om ) -> ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = (/) )
4643, 44, 45mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = (/)
4741, 46eqtr3i 2252 . . . . . . . 8 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
4847imaeq2i 5066 . . . . . . 7 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
49 ima0 5087 . . . . . . 7 |- ( F " (/) ) = (/)
5048, 49eqtri 2250 . . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = (/)
5150a1i 9 . . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( `' N ` 0 ) ) = (/) )
5234, 37, 51f1oeq123d 5566 . . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
5326, 52mpbiri 168 . . 3 |- ( ph -> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) )
54 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) )
5527ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
5628ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
5729ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
58 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> k e. NN0 )
5955, 56, 57, 30, 31, 32, 33, 58ennnfonelemp1 12977 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
6059adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
61 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
6261iftrued 3609 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) = ( H ` k ) )
6360, 62eqtrd 2262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( H ` k ) )
6463dmeqd 4925 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = dom ( H ` k ) )
65 0zd 9458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
6631frechashgf1o 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N : om -1-1-onto-> NN0
6766a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> N : om -1-1-onto-> NN0 )
68 f1ocnv 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
69 f1of 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
7067, 68, 693syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> `' N : NN0 --> om )
7170, 58ffvelcdmd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` k ) e. om )
7265, 31, 71frec2uzsucd 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` k ) ) = ( ( N ` ( `' N ` k ) ) + 1 ) )
73 f1ocnvfv2 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
7466, 58, 73sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
7574oveq1d 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` k ) ) + 1 ) = ( k + 1 ) )
7672, 75eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` k ) ) = ( k + 1 ) )
7776fveq2d 5631 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = ( `' N ` ( k + 1 ) ) )
78 peano2 4687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' N ` k ) e. om -> suc ( `' N ` k ) e. om )
7971, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> suc ( `' N ` k ) e. om )
80 f1ocnvfv1 5901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ suc ( `' N ` k ) e. om ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = suc ( `' N ` k ) )
8166, 79, 80sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = suc ( `' N ` k ) )
8277, 81eqtr3d 2264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( k + 1 ) ) = suc ( `' N ` k ) )
83 df-suc 4462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- suc ( `' N ` k ) = ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } )
8482, 83eqtrdi 2278 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( k + 1 ) ) = ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) )
8584imaeq2d 5068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( F " ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) ) )
86 imaundi 5141 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
8785, 86eqtrdi 2278 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
8887adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
8961snssd 3813 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } C_ ( F " ( `' N ` k ) ) )
90 ssequn2 3377 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { ( F ` ( `' N ` k ) ) } C_ ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
9189, 90sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
92 fofn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : om -onto-> A -> F Fn om )
9356, 92syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F Fn om )
94 fnsnfv 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn om /\ ( `' N ` k ) e. om ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
9593, 71, 94syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
9695uneq2d 3358 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
9796eqeq1d 2238 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
9897adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
9991, 98mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
10088, 99eqtrd 2262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
10163, 64, 100f1oeq123d 5566 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
10254, 101mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
103 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) )
10455, 56, 57, 30, 31, 32, 33, 58ennnfonelemom 12979 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` k ) e. om )
105104adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` k ) e. om )
106 fof 5548 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
10756, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om --> A )
108107, 71ffvelcdmd 5771 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A )
109108adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A )
110 f1osng 5614 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom ( H ` k ) e. om /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } )
111105, 109, 110syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } )
11295adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
113 f1oeq3 5562 . . . . . . . . . . 11 |- ( { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) -> ( { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } <-> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
114112, 113syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } <-> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
115111, 114mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
116 nnord 4704 . . . . . . . . . 10 |- ( dom ( H ` k ) e. om -> Ord dom ( H ` k ) )
117 orddisj 4638 . . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom ( H ` k ) -> ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) )
118105, 116, 1173syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) )
119112ineq2d 3405 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
120 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
121 disjsn 3728 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = (/) <-> -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
122120, 121sylibr 134 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = (/) )
123119, 122eqtr3d 2264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = (/) )
124 f1oun 5592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) /\ { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) /\ ( ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) /\ ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = (/) ) ) -> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
125103, 115, 118, 123, 124syl22anc 1272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
12659adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
127120iffalsed 3612 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) = ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) )
128126, 127eqtrd 2262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) )
12955adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
13056adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
13157adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
13258adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> k e. NN0 )
133129, 130, 131, 30, 31, 32, 33, 132, 120ennnfonelemhdmp1 12980 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = suc dom ( H ` k ) )
134 df-suc 4462 . . . . . . . . . 10 |- suc dom ( H ` k ) = ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } )
135133, 134eqtrdi 2278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) )
13687adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
137128, 135, 136f1oeq123d 5566 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) ) )
138125, 137mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
13955, 56, 71ennnfonelemdc 12970 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> DECID ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
140 exmiddc 841 . . . . . . . 8 |- (DECID ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
141139, 140syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
142102, 138, 141mpjaodan 803 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
143142ex 115 . . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) )
144143expcom 116 . . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
145144a2d 26 . . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ph -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
1467, 13, 19, 25, 53, 145nn0ind 9561 . 2 |- ( P e. NN0 -> ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
1471, 146mpcom 36 1 |- ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   u. cun 3195   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   |-> cmpt 4145   Ord word 4453   suc csuc 4456   omcom 4682   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   "cima 4722   Fn wfn 5313   -->wf 5314   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  freccfrec 6536   ^pm cpm 6796   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   seqcseq 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pm 6798  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670
This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12985  ennnfonelemf1  12989  ennnfonelemrn  12990
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