Theorem ennnfonelemhf1o 12439

Description: Lemma for ennnfone 12451. Each of the functions in H is one to one and onto an image of F. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhf1o.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhf1o	|- ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, x, y   j, G   j, H, k, x, y   j, J   j, N, k, x, y   ph, j, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( n)   G( x, y, k, n)   H( n)   J( x, y, k, n)   N( n)

Proof of Theorem ennnfonelemhf1o

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhf1o.p	. 2 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		fveq2 5531	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( H ` w ) = ( H ` 0 ) )
3	2	dmeqd 4844	. . . . 5 |- ( w = 0 -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` 0 ) )
4		fveq2 5531	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` 0 ) )
5	4	imaeq2d 4985	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` 0 ) ) )
6	2, 3, 5	f1oeq123d 5471	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) ) ) )
8		fveq2 5531	. . . . 5 |- ( w = k -> ( H ` w ) = ( H ` k ) )
9	8	dmeqd 4844	. . . . 5 |- ( w = k -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` k ) )
10		fveq2 5531	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` k ) )
11	10	imaeq2d 4985	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
12	8, 9, 11	f1oeq123d 5471	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) ) )
14		fveq2 5531	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( k + 1 ) ) )
15	14	dmeqd 4844	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` ( k + 1 ) ) )
16		fveq2 5531	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` ( k + 1 ) ) )
17	16	imaeq2d 4985	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
18	14, 15, 17	f1oeq123d 5471	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20		fveq2 5531	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
21	20	dmeqd 4844	. . . . 5 |- ( w = P -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` P ) )
22		fveq2 5531	. . . . . 6 |- ( w = P -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` P ) )
23	22	imaeq2d 4985	. . . . 5 |- ( w = P -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
24	20, 21, 23	f1oeq123d 5471	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) ) )
26		f1o0 5514	. . . 4 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
27		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
28		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
29		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
30		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
31		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
32		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
33		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
34	27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	ennnfonelem0 12431	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
35	34	dmeqd 4844	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
36		dm0 4856	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
37	35, 36	eqtrdi 2238	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = (/) )
38		0zd 9285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
39	38, 31	frec2uz0d 10419	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
40	39	mptru 1373	. . . . . . . . . 10 |- ( N ` (/) ) = 0
41	40	fveq2i 5534	. . . . . . . . 9 |- ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = ( `' N ` 0 )
42	38, 31	frec2uzf1od 10426	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
43	42	mptru 1373	. . . . . . . . . 10 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
44		peano1 4608	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
45		f1ocnvfv1 5795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om ) -> ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = (/) )
46	43, 44, 45	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = (/)
47	41, 46	eqtr3i 2212	. . . . . . . 8 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
48	47	imaeq2i 4983	. . . . . . 7 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
49		ima0 5002	. . . . . . 7 |- ( F " (/) ) = (/)
50	48, 49	eqtri 2210	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = (/)
51	50	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( `' N ` 0 ) ) = (/) )
52	34, 37, 51	f1oeq123d 5471	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
53	26, 52	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) )
54		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) )
55	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
56	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
57	29	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
58		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> k e. NN0 )
59	55, 56, 57, 30, 31, 32, 33, 58	ennnfonelemp1 12432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
62	61	iftrued 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) = ( H ` k ) )
63	60, 62	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( H ` k ) )
64	63	dmeqd 4844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = dom ( H ` k ) )
65		0zd 9285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
66	31	frechashgf1o 10448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N : om -1-1-onto-> NN0
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> N : om -1-1-onto-> NN0 )
68		f1ocnv 5490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
69		f1of 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
70	67, 68, 69	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> `' N : NN0 --> om )
71	70, 58	ffvelcdmd 5669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` k ) e. om )
72	65, 31, 71	frec2uzsucd 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` k ) ) = ( ( N ` ( `' N ` k ) ) + 1 ) )
73		f1ocnvfv2 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
74	66, 58, 73	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
75	74	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` k ) ) + 1 ) = ( k + 1 ) )
76	72, 75	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` k ) ) = ( k + 1 ) )
77	76	fveq2d 5535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = ( `' N ` ( k + 1 ) ) )
78		peano2 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' N ` k ) e. om -> suc ( `' N ` k ) e. om )
79	71, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> suc ( `' N ` k ) e. om )
80		f1ocnvfv1 5795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ suc ( `' N ` k ) e. om ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = suc ( `' N ` k ) )
81	66, 79, 80	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = suc ( `' N ` k ) )
82	77, 81	eqtr3d 2224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( k + 1 ) ) = suc ( `' N ` k ) )
83		df-suc 4386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc ( `' N ` k ) = ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } )
84	82, 83	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( k + 1 ) ) = ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) )
85	84	imaeq2d 4985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( F " ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) ) )
86		imaundi 5056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
87	85, 86	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
89	61	snssd 3752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } C_ ( F " ( `' N ` k ) ) )
90		ssequn2 3323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { ( F ` ( `' N ` k ) ) } C_ ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
91	89, 90	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
92		fofn 5456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : om -onto-> A -> F Fn om )
93	56, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F Fn om )
94		fnsnfv 5592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn om /\ ( `' N ` k ) e. om ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
95	93, 71, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
96	95	uneq2d 3304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
97	96	eqeq1d 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
98	97	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
99	91, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
100	88, 99	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
101	63, 64, 100	f1oeq123d 5471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
102	54, 101	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
103		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) )
104	55, 56, 57, 30, 31, 32, 33, 58	ennnfonelemom 12434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` k ) e. om )
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` k ) e. om )
106		fof 5454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
107	56, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om --> A )
108	107, 71	ffvelcdmd 5669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A )
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A )
110		f1osng 5518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom ( H ` k ) e. om /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } )
111	105, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } )
112	95	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
113		f1oeq3 5467	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) -> ( { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } <-> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } <-> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
115	111, 114	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
116		nnord 4626	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( H ` k ) e. om -> Ord dom ( H ` k ) )
117		orddisj 4560	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom ( H ` k ) -> ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) )
118	105, 116, 117	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) )
119	112	ineq2d 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
120		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
121		disjsn 3669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = (/) <-> -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
122	120, 121	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = (/) )
123	119, 122	eqtr3d 2224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = (/) )
124		f1oun 5497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) /\ { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) /\ ( ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) /\ ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = (/) ) ) -> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
125	103, 115, 118, 123, 124	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
126	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
127	120	iffalsed 3559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) = ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) )
128	126, 127	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) )
129	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
130	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
131	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
132	58	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> k e. NN0 )
133	129, 130, 131, 30, 31, 32, 33, 132, 120	ennnfonelemhdmp1 12435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = suc dom ( H ` k ) )
134		df-suc 4386	. . . . . . . . . 10 |- suc dom ( H ` k ) = ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } )
135	133, 134	eqtrdi 2238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) )
136	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
137	128, 135, 136	f1oeq123d 5471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) ) )
138	125, 137	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
139	55, 56, 71	ennnfonelemdc 12425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> DECID ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
140		exmiddc 837	. . . . . . . 8 |- (DECID ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
142	102, 138, 141	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
143	142	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) )
144	143	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
145	144	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ph -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
146	7, 13, 19, 25, 53, 145	nn0ind 9387	. 2 |- ( P e. NN0 -> ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
147	1, 146	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   u. cun 3142   i^i cin 3143   C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610   |-> cmpt 4079   Ord word 4377   suc csuc 4380   omcom 4604   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   "cima 4644   Fn wfn 5227   -->wf 5228   -onto->wfo 5230   -1-1-onto->wf1o 5231   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   e. cmpo 5894  freccfrec 6410   ^pm cpm 6668   0cc0 7831   1c1 7832   + caddc 7834   - cmin 8148   NN0cn0 9196   ZZcz 9273   ZZ>=cuz 9548   seqcseq 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pm 6670  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-seqfrec 10466

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12440  ennnfonelemf1  12444  ennnfonelemrn  12445