Theorem ennnfonelemhf1o 13285

Description: Lemma for ennnfone 13297. Each of the functions in H is one to one and onto an image of F. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhf1o.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhf1o	|- ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, x, y   j, G   j, H, k, x, y   j, J   j, N, k, x, y   ph, j, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( n)   G( x, y, k, n)   H( n)   J( x, y, k, n)   N( n)

Proof of Theorem ennnfonelemhf1o

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhf1o.p	. 2 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		fveq2 5693	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( H ` w ) = ( H ` 0 ) )
3	2	dmeqd 4981	. . . . 5 |- ( w = 0 -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` 0 ) )
4		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` 0 ) )
5	4	imaeq2d 5124	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` 0 ) ) )
6	2, 3, 5	f1oeq123d 5631	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) ) ) )
8		fveq2 5693	. . . . 5 |- ( w = k -> ( H ` w ) = ( H ` k ) )
9	8	dmeqd 4981	. . . . 5 |- ( w = k -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` k ) )
10		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` k ) )
11	10	imaeq2d 5124	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
12	8, 9, 11	f1oeq123d 5631	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) ) )
14		fveq2 5693	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( k + 1 ) ) )
15	14	dmeqd 4981	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` ( k + 1 ) ) )
16		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` ( k + 1 ) ) )
17	16	imaeq2d 5124	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
18	14, 15, 17	f1oeq123d 5631	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
20		fveq2 5693	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
21	20	dmeqd 4981	. . . . 5 |- ( w = P -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` P ) )
22		fveq2 5693	. . . . . 6 |- ( w = P -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` P ) )
23	22	imaeq2d 5124	. . . . 5 |- ( w = P -> ( F " ( `' N ` w ) ) = ( F " ( `' N ` P ) ) )
24	20, 21, 23	f1oeq123d 5631	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) <-> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` w ) : dom ( H ` w ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` w ) ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) ) )
26		f1o0 5676	. . . 4 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
27		ennnfonelemh.dceq	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
28		ennnfonelemh.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
29		ennnfonelemh.ne	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
30		ennnfonelemh.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
31		ennnfonelemh.n	. . . . . 6 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
32		ennnfonelemh.j	. . . . . 6 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
33		ennnfonelemh.h	. . . . . 6 |- H = seq 0 ( G , J )
34	27, 28, 29, 30, 31, 32, 33	ennnfonelem0 13277	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
35	34	dmeqd 4981	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
36		dm0 4993	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
37	35, 36	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = (/) )
38		0zd 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
39	38, 31	frec2uz0d 10817	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( N ` (/) ) = 0 )
40	39	mptru 1411	. . . . . . . . . 10 |- ( N ` (/) ) = 0
41	40	fveq2i 5696	. . . . . . . . 9 |- ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = ( `' N ` 0 )
42	38, 31	frec2uzf1od 10824	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
43	42	mptru 1411	. . . . . . . . . 10 |- N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 )
44		peano1 4739	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
45		f1ocnvfv1 5976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ (/) e. om ) -> ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = (/) )
46	43, 44, 45	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- ( `' N ` ( N ` (/) ) ) = (/)
47	41, 46	eqtr3i 2261	. . . . . . . 8 |- ( `' N ` 0 ) = (/)
48	47	imaeq2i 5122	. . . . . . 7 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = ( F " (/) )
49		ima0 5144	. . . . . . 7 |- ( F " (/) ) = (/)
50	48, 49	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( F " ( `' N ` 0 ) ) = (/)
51	50	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( `' N ` 0 ) ) = (/) )
52	34, 37, 51	f1oeq123d 5631	. . . 4 |- ( ph -> ( ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) <-> (/) : (/) -1-1-onto-> (/) ) )
53	26, 52	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 0 ) : dom ( H ` 0 ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` 0 ) ) )
54		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) )
55	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
56	28	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
57	29	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
58		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> k e. NN0 )
59	55, 56, 57, 30, 31, 32, 33, 58	ennnfonelemp1 13278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
61		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
62	61	iftrued 3647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) = ( H ` k ) )
63	60, 62	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( H ` k ) )
64	63	dmeqd 4981	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = dom ( H ` k ) )
65		0zd 9638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> 0 e. ZZ )
66	31	frechashgf1o 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N : om -1-1-onto-> NN0
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> N : om -1-1-onto-> NN0 )
68		f1ocnv 5650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
69		f1of 5637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
70	67, 68, 69	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> `' N : NN0 --> om )
71	70, 58	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` k ) e. om )
72	65, 31, 71	frec2uzsucd 10819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` k ) ) = ( ( N ` ( `' N ` k ) ) + 1 ) )
73		f1ocnvfv2 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
74	66, 58, 73	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` k ) ) = k )
75	74	oveq1d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` k ) ) + 1 ) = ( k + 1 ) )
76	72, 75	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` k ) ) = ( k + 1 ) )
77	76	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = ( `' N ` ( k + 1 ) ) )
78		peano2 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' N ` k ) e. om -> suc ( `' N ` k ) e. om )
79	71, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> suc ( `' N ` k ) e. om )
80		f1ocnvfv1 5976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ suc ( `' N ` k ) e. om ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = suc ( `' N ` k ) )
81	66, 79, 80	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( N ` suc ( `' N ` k ) ) ) = suc ( `' N ` k ) )
82	77, 81	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( k + 1 ) ) = suc ( `' N ` k ) )
83		df-suc 4514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc ( `' N ` k ) = ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } )
84	82, 83	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( `' N ` ( k + 1 ) ) = ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) )
85	84	imaeq2d 5124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( F " ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) ) )
86		imaundi 5198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " ( ( `' N ` k ) u. { ( `' N ` k ) } ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
87	85, 86	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
89	61	snssd 3858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } C_ ( F " ( `' N ` k ) ) )
90		ssequn2 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { ( F ` ( `' N ` k ) ) } C_ ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
91	89, 90	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
92		fofn 5615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : om -onto-> A -> F Fn om )
93	56, 92	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F Fn om )
94		fnsnfv 5759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn om /\ ( `' N ` k ) e. om ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
95	93, 71, 94	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
96	95	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
97	96	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
98	97	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( F " ( `' N ` k ) ) <-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
99	91, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
100	88, 99	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( F " ( `' N ` k ) ) )
101	63, 64, 100	f1oeq123d 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
102	54, 101	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
103		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) )
104	55, 56, 57, 30, 31, 32, 33, 58	ennnfonelemom 13280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` k ) e. om )
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` k ) e. om )
106		fof 5613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
107	56, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om --> A )
108	107, 71	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A )
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A )
110		f1osng 5680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom ( H ` k ) e. om /\ ( F ` ( `' N ` k ) ) e. A ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } )
111	105, 109, 110	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } )
112	95	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
113		f1oeq3 5627	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ( F ` ( `' N ` k ) ) } = ( F " { ( `' N ` k ) } ) -> ( { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } <-> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> { ( F ` ( `' N ` k ) ) } <-> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
115	111, 114	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) )
116		nnord 4757	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( H ` k ) e. om -> Ord dom ( H ` k ) )
117		orddisj 4691	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom ( H ` k ) -> ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) )
118	105, 116, 117	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) )
119	112	ineq2d 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
120		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
121		disjsn 3770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = (/) <-> -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
122	120, 121	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i { ( F ` ( `' N ` k ) ) } ) = (/) )
123	119, 122	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = (/) )
124		f1oun 5657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) /\ { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } : { dom ( H ` k ) } -1-1-onto-> ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) /\ ( ( dom ( H ` k ) i^i { dom ( H ` k ) } ) = (/) /\ ( ( F " ( `' N ` k ) ) i^i ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) = (/) ) ) -> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
125	103, 115, 118, 123, 124	syl22anc 1279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
126	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) )
127	120	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) , ( H ` k ) , ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) ) = ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) )
128	126, 127	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) )
129	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
130	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> F : om -onto-> A )
131	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
132	58	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> k e. NN0 )
133	129, 130, 131, 30, 31, 32, 33, 132, 120	ennnfonelemhdmp1 13281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = suc dom ( H ` k ) )
134		df-suc 4514	. . . . . . . . . 10 |- suc dom ( H ` k ) = ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } )
135	133, 134	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> dom ( H ` ( k + 1 ) ) = ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) )
136	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) )
137	128, 135, 136	f1oeq123d 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( H ` k ) u. { <. dom ( H ` k ) , ( F ` ( `' N ` k ) ) >. } ) : ( dom ( H ` k ) u. { dom ( H ` k ) } ) -1-1-onto-> ( ( F " ( `' N ` k ) ) u. ( F " { ( `' N ` k ) } ) ) ) )
138	125, 137	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
139	55, 56, 71	ennnfonelemdc 13271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> DECID ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) )
140		exmiddc 848	. . . . . . . 8 |- (DECID ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` k ) ) e. ( F " ( `' N ` k ) ) ) )
142	102, 138, 141	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) )
143	142	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) )
144	143	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ph -> ( ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
145	144	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( ph -> ( H ` k ) : dom ( H ` k ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` k ) ) ) -> ( ph -> ( H ` ( k + 1 ) ) : dom ( H ` ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
146	7, 13, 19, 25, 53, 145	nn0ind 9742	. 2 |- ( P e. NN0 -> ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) ) )
147	1, 146	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) : dom ( H ` P ) -1-1-onto-> ( F " ( `' N ` P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3708   <.cop 3711   |-> cmpt 4190   Ord word 4505   suc csuc 4508   omcom 4735   `'ccnv 4771   dom cdm 4772   "cima 4775   Fn wfn 5370   -->wf 5371   -onto->wfo 5373   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   e. cmpo 6080  freccfrec 6654   ^pm cpm 6916   0cc0 8172   1c1 8173   + caddc 8175   - cmin 8490   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   ZZ>=cuz 9903   seqcseq 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pm 6918  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-seqfrec 10866

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  13286  ennnfonelemf1  13290  ennnfonelemrn  13291